A gyöktényezős alak és a megoldóképlet

Azért, hogy ne kelljen a szorzattá alakítással minden másodfokú egyenletnél hosszadalmasan dolgoznunk, felírjuk a másodfokú egyenletek 0-ra redukált rendezett általános alakját, és azzal végezzük el a szorzattá alakítást, majd az így kapott eredményt „receptszerűen” használjuk.

A másodfokú egyenletek rendezett alakja:
,
ahol a négyzetes tag együtthatója a és b az elsőfokú tag együtthatója, c konstans.
A bal oldalon álló kifejezésben kiemeljük a-t:
.
A második tényezőt teljes négyzetté egészítjük ki:

Szeretnénk szorzattá alakítani a szögletes zárójelben lévő kifejezést.
a) Ha , azaz akkor a szögletes zárójelben lévő kifejezést nem tudjuk szorzattá alakítani. Ekkor az egyenletnek nincs valós gyöke.

b) Ha akkor az egyenlet egyszerűbb lesz:

Ebből már látjuk, hogy ennek az egyenletnek van megoldása:
,
Az egyenlet bal oldalán álló kifejezést felírhatjuk szorzatalakban is:
,
Ebben az esetben is azt mondjuk, hogy két valós gyöke van az egyenletnek, ez a két gyök egyenlő:

(Úgy is szokták mondani, hogy egy kétszeres gyöke van az egyenletnek.)
c) Ha azaz akkor a szögletes zárójelben lévő kifejezést felírhatjuk két tag négyzetének különbségeként, és azt szorzattá alakíthatjuk. Mindkét tényezőből egy-egy gyököt kapunk.
Ekkor
,
ezért egyenletünk:
,
A négyzetek különbségét szorzattá alakítjuk:

s ebből további átalakítással:

Tudjuk, hogy ezért a másik két tényezőt (az ún. gyöktényezőket) vizsgáljuk. Ezek egy-egy gyököt adnak. Az egyenlet két gyöke:
,

A gyököket rövidebb alakban, összevonva szoktuk felírni:

Ezt a másodfokú egyenlet megoldóképletének nevezzük.