Feladat: osztható- nem osztható

Hány darab olyan kétjegyű pozitív egész szám van, amely nem osztható sem 5-tel, sem 6-tal?

Megoldás: osztható- nem osztható

Ilyen jellegű feladattal már találkoztunk. Tudjuk, hogy a különböző tulajdonságú számokat halmazokkal szemléletessé tehetjük.

Kétjegyű pozitív egész szám 90 darab van. Az alaphalmazunk tehát 90 elemű. Ezen belül az 5-tel osztható egész számok részhalmaza 18 elemű, a 6-tal osztható számok részhalmaza 15 elemű. Ezek között a számok között azonban vannak olyanok is, amelyek 5-tel és 6-tal is, azaz 30-cal is oszthatók. Az előző két részhalmaznak van közös része. Ez a 30-cal osztható számok részhalmaza, 3 elemű.

A feladathoz az ábra Venn-diagramját készíthetjük el. Ezen látjuk, hogy a 90 elemű alaphalmaznak 30 olyan eleme van, amely 5-tel vagy 6-tal osztható, tehát 60 olyan kétjegyű pozitív egész szám van, amely nem osztható sem 5-tel, sem 6-tal.

Feladat: tanulók - nyelvtanulás

Egy osztály 32 tanulója közül 16-an tanulnak angolul, 13-an franciául, 13-an németül. Az említett nyelvek közül 5-en németül és franciául is, 7-en németül és angolul is, 6-an angolul és franciául is tanulnak. Négyen mindhárom nyelvet tanulják. Hányan nem tanulják az említett nyelvek egyikét sem?

Megoldás: tanulók - nyelvtanulás

Most is dolgozhatunk az előző példánál látott módszerrel.

Az alaphalmaz 32 elemű. Ennek három olyan részhalmaza van, amelyek azokat jelképezik, akik angolul, franciául, illetve németül tanulnak. Bármely két halmaznak van közös része, és a háromnak is van közös része, hiszen négy tanuló mindhárom nyelvet tanulja.

Venn-diagramot készíthetünk. Tudjuk, hogy a három részhalmaz közös részének 4 eleme van. Ebből kiindulva a többi részhalmaz elemeinek a számát beírjuk a Venn-diagramba úgy, ahogy azt a 237. ábra mutatja.

Összeszámlálással megkapjuk, hogy az említett nyelveket összesen 28-an tanulják. Ezért az osztály 32 tanulója között 4 olyan tanuló van, aki a három nyelv egyikét sem tanulja.

A feladatok tanulságai

Egy képzeletbeli lakótelep alaprajza a következő: Négyzetes háztömbök vannak, az utcák egyenesek, irányuk észak-déli; kelet-nyugati. Ezt szemlélteti az ábra.

Feladatunk az volt, hogy megkeressük: Hány darab olyan eleme van az eredeti halmaznak, amely az említett tulajdonságok egyikével sem rendelkezik?
Rövidebben: egy adott halmaz elemei közül a bizonyos tulajdonságokkal nem rendelkező elemek számát határoztuk meg.

Ez a megfogalmazás már utal arra, hogy Venn-diagram nélkül, számolással is megkaphatjuk a kívánt számot. A feladatból már következik, hogy az eredeti halmaz elemeinek a számát csökkentenünk kell. Hogyan történjen ez a csökkentés? Nagyon nagy figyelmet kíván az, hogy a nem megfelelő elemek számát pontosan egyszer vonjuk ki az eredeti halmaz elemeinek a számából. Vizsgáljuk újból az 1. példát.
Az 1. példában 90 szám közül kétféle tulajdonsággal rendelkezők voltak említve.
Az egyik tulajdonság: 5-tel való oszthatóság, ilyen szám 18 volt.
A másik tulajdonság: 6-tal való oszthatóság, ilyen szám 15 volt.
Mindkét tulajdonságnak, azaz az 5-tel és a 6-tal való oszthatóságnak 3 darab szám tett eleget.
A 90-ből el kell vennünk az egyik tulajdonsággal rendelkezők számát és el kell vennünk a másik tulajdonsággal rendelkezők számát is. Kapunk: -öt. Ez azonban nem jó érték, mert a elvételekor kétszeresen vettük el azokat a számokat, amelyek mindkét tulajdonsággal rendelkeznek. Ilyen szám 3 darab volt. Ezért ezt a 3-at az előző különbséghez hozzá kell adnunk.
Így azoknak a számoknak a száma, amelyek egyik tulajdonsággal sem rendelkeznek:
.
Ezt kaptuk a Venn-diagramból is.