A tétel megfordításának bizonyítása

Az feltételekből bizonytani akarjuk, hogy az AA’ és a BB’ egyenesek párhuzamosak.
A tétel indirekt módszerrel bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy ez a két egyenes nem párhuzamos. Húzzunk párhuzamost az AA’ egyenessel úgy, hogy az illeszkedjen a B pontra. Ez a másik szögszárat a pontban metszi. Az AA' és egyenesek párhuzamosak, ezért a párhuzamos szelők tétele alapján:
.
Ezt hasonlítsuk össze a kiinduló feltétellel. Ebből látjuk:

Ez ellentmond annak, hogy és B’ különböző volt, vagyis helytelen az indirekt feltevés. Így .

A tétel megfordítása

Természetes, hogy a párhuzamos szelők tétele után a következő kérdést fogalmazzuk meg. Igaz-e a párhuzamos szelők tételének megfordítása, azaz ha egy szög két szárát metsző egyenesek a szárakon egyenlő arányú szakaszokat hoznak létre, akkor az egyenesek párhuzamosak?

Az 49. ábra óvatosságra figyelmeztet. Figyelembe kell vennünk a szög csúcspontjánál kezdődő szakaszokat is. A következő alakban igaz a tétel megfordítása:

Tétel: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.