A tétel bizonyítása
Szinte magától adódik a következő kérdés: Van-e összefüggés a szög szárait metsző párhuzamos egyenesek szárakon „belüli” szakaszai és a szárakon keletkezett szakaszok között?
Méréssel azt sejthetjük, hogy
. Ennek bizonyítása a következő:
Az ábrán
.Húzzunk párhuzamost a b egyenessel az A ponton át. Ez a
egyenest a
pontban metszi.
Az előző ábráktól eltérően most a B csúcsnál lévő
szöget vizsgáljuk. Ezt metszi két párhuzamos: a b egyenes és az
egyenes. A párhuzamos szelők tétele alapján:
.
A szerkesztésből következik, hogy az
négyszög paralelogramma, ezért:
.
Ezt felhasználjuk, az előző arányba beírjuk az
szakaszt. Ezt kapjuk:
.
Ezt a párhuzamos szelőszakaszok tételének nevezzük:
A szelőszakaszok tétele
Egy szög szárait metsző párhuzamosokból a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosak által az egyik szárból kimetszett szakaszok arányával:
,
illetve
.
Feladat: szakasz adot arányú osztópontja
Oldalhosszaival adott egy
trapéz. Számítsuk ki a
háromszög, az úgynevezett kiegészítő háromszög oldalhosszúságait!
Megoldás: szakasz adot arányú osztópontja
A párhuzamos szelőszakaszok tétele alapján:
,
,
,
.
,
,
,
.
(A második szakasz kiszámításánál már dolgozhattunk volna a párhuzamos szelők tételével is.)