Fixpont

A középpontos hasonlóságnál megadott középpont fixpont.

Egyenes képe

Vizsgáljuk meg, hogy középpontos hasonlóságnál mi lesz egy egyenes képe.

a) Ha az e egyenes illeszkedik az O középpontra, akkor az egyenes minden pontjának a képe ezen az e egyenesen van, és az e egyenes minden pontja valamelyik pontnak a képpontja.

Az O középpontra illeszkedő egyenes képe önmaga, azaz a középpontra illeszkedő egyenes invariáns alakzat.

b) Ha az e egyenes nem illeszkedik a középpontra, akkor vegyünk fel az egyenesen két különböző pontot. Legyenek ezek P és Q, képük P' és Q'.

Arra gondolhatunk, hogy az e egyenes képe a P'Q' egyenes lesz. Ebben azonban nem lehetünk biztosak, hiszen láttunk olyan geometriai transzformációt is, amelynél egy egyenes minden pontjának a képe egy körön belül volt, tehát nem lehetett egyenes.

Meg kell vizsgálnunk, hogy az e egyenes tetszőleges R pontjának az R’ képe pontja-e a egyenesnek, és azt is, hogy a egyenes bármely pontja lehet-e képpont. Ha mindkét feltétel teljesül, akkor az e egyenes képe a egyenes.

Az e egyenesen felveszünk egy tetszőleges R pontot. Erre és a képére a hozzárendelési szabályból következik az egyenlőség. Azt is tudjuk, hogy így a párhuzamos szelők tételének a megfordításából következik a és az e egyenes párhuzamossága.

A P'-re illeszkedő és a egyenesek csak úgy lehetnek párhuzamosak az e egyenessel, ha az R’ pont illeszkedik a egyenesre. Tehát az e egyenes bármely pontjának a képe a egyenesen van.

Az ábra alapján az is látszik, hogy a egyenes minden pontja képpont is.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy az e egyenes e’ képe a vele párhuzamos egyenes.

Egyenesnek a középpontos hasonlósági transzformációval kapott képe az eredeti egyenessel párhuzamos egyenes. Ha az egyenes illeszkedik a hasonlóság középpontjára, akkor a képe önmaga.

Szögtartó

Vizsgáljuk meg, hogy a középpontos hasonlóság szögtartó-e.

Az előző megállapításunkból következik, hogy egy szög szárainak képei az eredeti szárakra vagy illeszkednek, vagy velük párhuzamosak, ezért egy szög és annak a képe egyállású szögek, tehát egyenlők.

A középpontos hasonlóság szögtartó.

Aránytartó

Középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó. (Ez az állandó a hasonlóság arányának abszolútértéke.)

A hozzárendelési szabály világosan mutatja, hogy a középpontos hasonlóság nem távolságtartó. Hogyan változtatja meg a középpontos hasonlóság a távolságokat?

Vizsgáljuk meg, hogy egy PQ szakasz hossza és a P’Q’ képének a hossza között milyen kapcsolat van. A 60. ábráról a párhuzamos szelőszakaszok tételét felírhatjuk:

P’Q’ : PQ = OP’ : OP.

Ez az arány a középpontos hasonlóság aránya, ezért .