Kerületi szögek tétele

Egy körben egy adott körívhez egyetlen középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik.

Valamennyi kerületi szögre vonatkozik a középponti és kerületi szögek tétele, ezért valamennyi kerületi szög egyenlő az egyetlen középponti szög felével, tehát a rajzon látható kerületi szögek egyenlő nagyságúak.

Ezt nevezzük a kerületi szögek tételének.

Tétel: Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők.

A látókörív

Ezt az állításunkat azonnal követi egy kérdés:

A síkon mi azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott szakasz adott α látószöggel látszik?

Az ábra alapján tudjuk, hogy a ponthalmaznak tartalmaznia kell az előbb látott körívet, és arra is rájövünk, hogy ha azt az AB egyenesre tükrözzük, akkor a kapott pontok is megfelelőek lesznek. Belátjuk, hogy további megfelelő pontokat nem találhatunk.

Tétel: A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz adott ( ) szögben látszik, két szimmetrikus körív (látószögkörív). Az adott szakasz a két szimmetrikus körív közös húrja. Ennek végpontjai nem tartoznak a látószögkörívhez.

A szerkesztési eljárást az ábráról leolvashatjuk:
Az szakasz egyik végpontjából felmérjük az α szöget. Az új szögszárral, a szakasz végpontjában, merőlegest emelünk.
A megszerkesztett merőleges és az szakasz felezőmerőlegesének a metszéspontja lesz a látószögkörív középpontja.
Azt, hogy valóban a két szimmetrikus körív a megfelelő ponthalmaz, a szimmetria miatt csak az egyik körív pontjaira bizonyítjuk.
Az ábrán látjuk az adott szakaszhoz az adott látószöggel megszerkesztett körívet. (Az ábrán . A tétel bizonyítható esetén is.)
A köríven belüli bármely P pontból az látószöge az α szögnél nagyobb, ugyanis a P- nél lévő látószög az háromszögnek külső szöge, és ez nagyobb, mint az L csúcsánál lévő α belső szög.
A köríven kívüli bármely Q pontból az AB látószöge az α szögnél kisebb, ugyanis a Q- nál lévő látószög az háromszögnek belső szöge és ez kisebb, mint az L csúcsnál lévő külső szöge.
Ezért a megfelelő pontok kizárólag a körív pontjai.