Többször találkoztál már az Imagine Logo teknőcével, és tudsz már új szavakat is tanítani neki. Sőt: ismered az olyan eljárásokat is, melyekben kisebb-nagyobb változtatásokkal az eljárás saját magát hívja meg újra meg újra.

Fontos, hogy ha nem akarsz végtelen rekurziót, akkor legyen egy kilépési feltételed, azaz tudd valamihez kötni a rekurzió befejezését, és ezt bele is tedd az eljárásba.

A rekurzió több művészeti ágban is feltűnik. Nézd meg az alábbi képet, melyet M. C. Escher festett, s melynek címe: Rajzoló kezek:

Hallgasd meg Johann Sebastian Bach Kis harmóniai labirintusát:

Keress te is rekurzív (önmagára hivatkozó) képeket, zenéket, verseket!

Illusztráció rekurzióról

A rekurzió után ismerd meg a fraktálok csodálatos világát!

Sokan a fraktálokat rekurzív görbének nevezik. A rekurzió segítségével egyszerű, vagy összetett sokszögeket alakíthatsz egyszerű és bonyolultabb mintákká: ezek ismétlődhetnek újra és újra, kisebb vagy nagyobb méretben, esetleg keresztezve önmagukat.

Ilyen görbékkel sok matematikus és művész is foglalkozott, foglakozik, és sok ábra a "feltalálójáról" kapta nevét.

De Perneczky Géza (művészettörténész) szerint a számítógép és a benne dolgozó algoritmus csak "megtalál" a fraktálok végtelen sokaságában egy-egy példányt, s sokan gondolják, hogy a természetben is megtalálható általában a fraktálok mintázata.

A fraktál fogalmát Benoit B. Mandelbrot lengyel matematikus vezette be 1975-ben. A fraktál szó a latin fractus szóból származik, melynek jelentése “törött”. Mandelbrot érdeme volt, hogy észrevette: rengeteg természeti objektum mutat fraktális tulajdonságokat. A felsorolás távolról sem lehet teljes: páfrány, felhő, hegy, fa, hópehely, tüdő, érrendszer, agy ...

Nézzünk pár példát, melyeken keresztül további tulajdonságokat fedezhetsz fel:

Talán a legelső ember által alkotott fraktált Anagni templomából (épült 1104-ben) való mozaiklapon láthatjuk. Nyolcszáz évvel azelőtt, hogy Sierpinski elkészítette volna az algoritmusát és a fraktál megkapta volna a Sierpinski háromszög nevet.

A Cantor-port Georg Cantor német matematikus (a halmazelmélet szülőatyja) írta le 1872 körül. Egy egyszerű ábráról van szó, de minden szinten ismétli önmagát. Az ábrán megfigyelhető a fraktálok másik alapvető jellegzetessége: iterációval képződnek.

Az iteráció úgy írható le, mint egy visszacsatoló folyamat, amely valahányszor megismétlődik. Elvégez egy bizonyos műveletet, amely egy eredményt képez és amely ugyanazon művelet következő számításának lesz a kezdő értéke, azaz bemenete. Az eljárás egyre és egyre ismétlődik (akár végtelenszer), egy iterációt képezve. Ilyen folyamat alkot egy fraktált.

És most nézd meg a természet alkotta páfrányt és számítógépes előállítását:

Összemontíroztunk pár művészileg létrehozott fraktált.

Nézd meg ezeket, és látogass el a következő oldalakra:

Fraktál galéria

Fraktál-lap gyűjtemény

Angol nyelvű fraktálokról szóló lap

Közben hallgasd meg közben Jose Oscar Marques fraktálzenéjét: Fraktálzene.

A fraktál tehát olyan alakzat, amely minden nagyítás mellett önismétlődést mutat. Azaz, ha felnagyítjuk egy fraktál egy részét, a nagyított képben észrevehetünk egy, az eredetihez hasonló, kisebb fraktált. Másik alapvető jellegzetességük pedig, hogy iterációval képződnek.

Persze nem csak a művészetekben használnak fraktálokat, tudományos számolásokat is végeznek velük például a térképészet területén.

Példa fraktálokra

Példa fraktálokra

Példa fraktálokra

Példa fraktálokra