AZ ALEXANDRIAI EUKLEIDÉSZ (i. e. 365?-300?)

Az Athén és Spárta egymás elleni harcában kimerült görög városok hatalmát II. Fülöp makedón király az i. e. 338-ban lezajlott khaironeiai csatában végképpen megtörte. Amit az egymással hadakozó görög poliszok önmaguktól elérni nem tudtak, azt megvalósította a hódító II. Fülöp : uralma megteremtette az egységes Görögországot. Elég bölcs volt ahhoz, hogy a görög kultúrát ne semmisítse meg, sőt a hellén szellem további kibontakozását segítse. Fiát is görög szellemben neveltette, Nagy Sándor egyik nevelője a matematikus Menaikhmosz volt; a másik pedig nem kisebb tudós, mint Arisztotelész. II. Fülöp világuralmi terveit fia, Nagy Sándor káprázatosan rövid idő alatt teljesítette. A nagy hódító Perzsia legyőzése után megteremtette az ókor legnagyobb birodalmát, amely Makedóniától Görögországon, Perzsián keresztül az Indiai-óceánig terjedt. Abban azonban, hogy e hatalmas birodalmat megszervezze, megakadályozta korai, hirtelen halála, ami után birodalmát hadvezérei felosztották maguk között. Hadvezéreinek egyike, I. Ptolemaiosz vagy Ptolemaiosz Szótér (szótér=megmentő, fenntartó) néven lett Egyiptom ura. A művészeteket és tudományokat pártoló király és utódai, a Ptolemaidák Egyiptom új fővárosában, Alexandriában hatalmas kultúrközpontot építettek ki. Ebben a Muszeion nevű intézetben, amelynek óriási könyvtára mintegy 700 000 irodalmi és tudományos kéziratot őrzött, összegyűltek az akkori világ legnagyobb művészei és tudósai. Ezek az első "államilag" fizetett művészek és tudósok Alexandriában a görög tudomány és művészet addig soha nem látott virágzását bontakoztatták ki. Amíg csak az alexandriai iskola fennállott, képviselte a görög kultúrát, azt a hellenizmusnak nevezett korszakot, amelyet Nagy Sándortól szokás számítani.

A hellenisztikus kor matematikájának egyik fellegvára - Athén mellett - szintén Alexandria lett. A matematikatörténetben kiemelkedő szerepét jól érzékelteti néhány nagy név : az alexandriai Eukleidész, a szürakuszai Arkhimédész, a pergéi Apollóniosz, Ptolemaiosz Klaudiosz, az alexandriai Diophantosz, hogy valóban csak a legnagyobbakat említsük.

Időrendben az első alexandriai matematikus Eukleidész. Életéről - azon kívül, hogy Alexandriában dolgozott - szinte semmit sem tudunk. Szerencsére lényegesen többet tudunk műveiről. Fő munkája, amely mindmáig világhírt biztosít számára, a Sztoikheia. A sztoikheia magyarul elemeket jelent. A cím elárulja, hogy összefoglaló írásműről van szó. Thalésztől Eukleidészig valóban annyit fejlődött a görög matematika, hogy időszerűvé vált egy, az elemi ismereteket átfogó tárgyalás. Nem szabad azonban azt hinnünk, hogy a Sztoikheia az akkori görög matematika minden eredményére kitér. Csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Mint a legtöbb összefoglaló könyv, jól érzékelhetően ez is forrásmunkák alapján íródott. Úgy sejtjük, hogy Eukleidész nem volt nagy alkotó matematikus. Ha a Sztoikheia tartalmaz is önálló gondolatokat, ezeket Eukleidész nem különítette el. A tizenhárom könyvből álló mű a felhasznált forrásmunkák szerint is részekre tagolódik. Így például az V. és VI. könyvben Eudoxoszra ismerünk, a VIII. könyv Arkhütaszról árulkodik, és így tovább. Színvonalasabb az a rész, amely kiváló kútfő alapján készült, és gyengébb az, amelynél a felhasznált anyag is alacsonyabb szintű. A részletes elemi összefoglalás a hibáival együtt is érték, mert jellemzi korát. Az axiomatikus tárgyalásban Eukleidész Sztoikheiáját évezredekig nem sikerült felülmúlni. A művet tehát nem az eredetiség, nem a matematikai alkotás tette naggyá, hanem a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása. Mai szemmel persze az Elemek számos alkalmat adnak a tökéletesítésre, javításra. Helyes, hogy a mű az alapozással, azaz a bizonyítás nélkül elfogadott állítások felsorolásával kezdődik, a geometriai alapfogalmak definíciói azonban nem kielégítőek. Egy fogalmat a definíció más, egyszerűbb fogalmakkal ír körül. Eukleidész még nem volt tudatában annak, hogy a geometriában is szükségképpen lenniük kell legegyszerűbb alapfogalmaknak, amelyek nem definiálhatók. Ilyen a pont, az egyenes és a sík. Amikor Eukleidész megkísérli ezek meghatározását ("Pont az, aminek nincs része." "Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik." "Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik." stb.), akkor egyszerűbb fogalmakat bonyolultabbakkal definiál.

A kilenc axióma (ezek olyan igazságok, amelyeket a logikus gondolkozás érdekében kényszerülünk elfogadni, tehát kényszerítő erejűek):

1. Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők.

2. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, az összegek egyenlők.

3. Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, a maradékok egyenlők.

4. Ha nem egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, az összegek nem egyenlők.

5. Ugyanannak a kétszeresei egyenlők egymással.

6. Ugyanannak a fele részei egyenlők egymással.

7. Az egymásra illeszkedők egyenlők egymással.

8. Az egész nagyobb a résznél.

9. Két egyenes vonal nem fog közre területet.

Az öt posztulátum (ezek olyan állítások, amelyek nem a gondolkozásunk alappillérei, tehát elfogadásuk nem kötelező):

1. Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható.

2. És hogy véges egyenes vonal egyenesben folytatólag meghosszabbítható legyen.

3. És hogy minden középponttal és távolsággal legyen kör rajzolható.

4. És hogy minden derékszög egymással egyenlő legyen.

5. És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak.