A SZÜRAKUSZAI ARKHIMÉDÉSZ (i. e. 287?-212)

Az ókor legnagyobb matematikusa és fizikusa. A Newton és Leibniz által megfogalmazott differenciál- és integrálszámítás gyökereit nála találjuk meg. Az analízis területén majd 2000 évig alig-alig tudtak hozzátenni Arkhimédész eredményeihez. Egyik igen fontos matematikai munkájára, az Eratoszthenészhez írott, Módszer nevű levelére csak 1906-ban ismert rá Heiberg dán nyelvész Konstantinápolyban a Jeruzsálemi Szent Sír Kolostor Könyvtárában. Ebben a szerző elmondja Eratoszthenésznek, hogy matematikai felfedezéseit rendszerint valamilyen mechanikai kísérlet alapján sejti meg, és azután a megsejtett törvényt a matematika teljes szigorával igazolja. A tapasztalat és elmélet összeforrottságát mutató, ma is modern módszer szemléltetésére néhány sorral később nyílik alkalom. A parabola kvadratúrája című tanulmány is szép illusztrációja a Módszernek. Ebben egy gondolati kísérlettel, az emelő törvénye alapján sejti meg Arkhimédész a parabolaszelet területét, majd sejtését Eudoxosz "kimerítéses módszerének" tökéletesített formájával, példamutató szigorral igazolja. A gömbről és a hengerről szóló értekezésében az általa megfogalmazott axiómákra támaszkodva határozza meg az egyenes henger, majd az egyenes körkúp, valamint a gömb felszínét és térfogatát. Számításaiban az ún. kétoldali megközelítés módszerét alkalmazza. E munkájában állapította meg, hogy az egyenlő oldalú henger, az abba írható gömb, illetve egyenes körkúp térfogata úgy aránylik, mint 3 : 2 : 1. E számára kedves eredményt fejezte ki a sírkövére vésett ábra. Az axiomatikusan megalapozott, egymásra épülő tételsorozat gyönyörű példája A spirálisokról című kis műve. A konoidokról és szferoidokról (A forgásparaboloidokról és forgásellipszoidokról) írt munkájában a címben szereplő testeknek és azok síkmetszeteinek felszínét, térfogatát, illetve területét számítja ki. A körmérésről című írásában a körbe írt szabályos sokszögek segítségével közelíti meg a kör kerületét és területét. A homokszámításról írt csillagászati színezetű könyvében lényegében azt mutatja meg, hogyan lehet alkalmas jelöléssel tetszőlegesen nagy számokat képezni és azokat leírni. Megérdemli a gyönyörű jelzőt a csak arab fordításban ránk maradt szabályos hétszögszerkesztés. Szintén arab nyelvű a Lemmák könyve, amelyben az "arbelosz"-nak (holdkésnek) és a "szalinon"-nak (sótartónak) nevezett síkidomokról sorol fel egymásra támaszkodó tételeket. Kimondottan csillagászati tartalmú A gömbök készítéséről című, sajnálatosan elveszett mű. Ebben valószínűleg az eudoxoszi elképzelés alapján szerkesztett planetárium elkészítési módját írta le. A fizika számára jelentős két mechanikai tárgyú könyve: A síkidomok egyensúlyáról és Az úszó testekről szól.

A Módszerben olvasható a parabolaszelet területének a meghatározása. Ugyanígy határozta meg Arkhimédész a gömbszelet, a forgási ellipszoid és a forgáshiperboloid-szelet súlypontját is. A gömbről és a hengerről című tanulmányból kiválasztottuk azt a részt, amely a gömb felszínének a kiszámításával foglalkozik. ARKHIMÉDÉSZ e munka elején az euklideszi posztulátumok mellé néhány újat is bevezet :

l. Azon görbék közül, amelyek végpontjai közösek, legrövidebb az egyenes szakasz.

2. Ha egy síkban két görbének ugyanazok a végpontjai, és mindkettő a végpontok által meghatározott egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, akkor az a hosszabb, amely a másikat teljesen körülöleli.

3. Ugyanazon zárt síkgörbével határolt felületek között legkisebb területű a síkfelület.

4. Ha két felületet ugyanazon síkgörbe határol, és mindkettő a görbe síkjának ugyanazon oldalára esik, akkor a kettő közül az a nagyobb (területű), amely teljesen körülfogja a másikat.

5. Két vonal, felület vagy test különbsége valahányszor önmagához hozzáadva, bármely előre megadott, ugyanolyan fajtájú mennyiséget túlhaladhat.

Ezt az 5. posztulátumot arkhimédészi axiómának nevezik, és szerepel a Hilbert-féle folytonossági axiómák csoportjában. E posztulátumok előrebocsátása után Arkhimédész a "kétoldali megközelítés" módszerével meghatározta az egyenes körhenger és az egyenes körkúp palástjának a felszínét. Igen érdekes, és részletesebb tárgyalásra méltó Arkhimédésznek az a műve, amely az általa felfedezett spirálisról szól. A spirálisokról című dolgozatban 28, egymásra támaszkodó tétel sorakozik, szigorú axiomatikus felépítésben. A mű tárgya, a tárgyalás eszközei, a feldolgozás szelleme minden méltatásnál jobban tükrözi mindazt, amiben az ókor e legkiválóbb matematikusa majd 2000 évvel előzte meg korát. A tételek két cél felé vezetik az olvasót. Az egyik annak a területnek a meghatározása, amelyet a spirális és kezdőegyenese határol.