Tananyag választó:
Az ógörög matematika - 2
Jegyzet szerkesztése:
Híres ókori feladatok és megoldásuk
Eszköztár:

A KOCKAKETTŐZÉS, KÖRNÉGYSZÖGESÍTÉS ÉS SZÖGHARMADOLÁS

A HÍRES ÓKORI GÖRÖG FELADATOK

Régtől fogva felbukkannak a matematikában olyan problémák, amelyek nem csupán a matematikusok érdeklődését keltik fel, hanem rejtélyes módon izgatják a laikusok fantáziáját is, évszázadokon, évezredeken át. Ilyen a három híres ógörög szerkesztési feladat: a körnégyszögesítés, a kockakettőzés és a szögharmadolás. Talán a feladatok látszólagos egyszerűsége és ugyanakkor az euklideszi szerkesztéssel való megoldhatatlansága kelt olyan feszültséget, amely fellobbantja és ébren tartja az érdeklődést.

A feladatok eredete az őshomályba vész. Lehetséges például, hogy a kockakettőzés babiloni származású, és az x3=2a alakú egyenlettel kapcsolatos köbgyökvonás geometriai értelmezéséhez fűződik. Az egyik legenda szerint - és a kockakettőzést ezért nevezik déloszi problémának is - Délosz szigetén pestisjárvány dühöngött. Az istenek azt kívánták, hogy a kocka alakú oltárkövet kettőzzék meg, és akkor elmúlik a járvány. A kívánság teljesítésére törekedve azonban kitűnt, hogy a kőfaragók nem tudják megmondani, mekkora a kétszer nagyobb térfogatú kocka éle, hiszen ehhez kellett volna az x3=2 egyenlet megoldása, illetve a 23 hosszúság megszerkesztése. Az építészek Eratoszthenész szerint Platónhoz fordultak tanácsért, aki felvilágosította a tanácstalanokat, hogy az isteneknek voltaképpen nincs szükségük kétakkora oltárra, és kívánságukkal csak azt akarták elérni, hogy az emberek ne hanyagolják el a matematika művelését.

Platón válaszában még jól felismerhető az a püthagoreusi felfogás, amely a matematikával való foglalkozást isteni ügynek tekinti. Eratoszthenésznek ez az elbeszélése a Platónikosz című dialógusában már csak azért sem valószínű, mert tudjuk, hogy Platón előtt már például Püthagorasz is foglalkozott a szóban forgó problémával. Egy másik legenda a feladat eredetét Mínósz király idejére viszi vissza, aki a Glaukosz tengeri isten számára emelt kocka alakú emlékmű megkétszerezését kívánta.

Az irreducibilitási feltétel

Ha a P(x)=x3+a2x2+a1x+a0=0 racionális együtthatós harmadfokú polinom irreducibilis az 1, a0 , a1 , a2 együtthatókkal generált racionális számtest fölött [azaz ebben a számtestben a P(x) polinom nem bontható csupa elsőfokú tényező szorzatára, más szóval a P(x) = 0 nem írható fel gyöktényezős alakban], akkor a P(x) = 0 egyenlet gyökei euklideszi módon nem szerkeszthetők meg a 0, 1, a0 , a1 , a2 számokkal jellemzett K0 számtest segítségével.

A kockakettőzés esetében (az egyszerűség kedvéért) az egységnyi élű kockához olyan x élűt kellene szerkeszteni, amelyre nézve igaz, hogy: x3=2 , illetve x3−2=0 . Mivel azonban az x3−2 polinom a racionális számtest fölött irreducibilis, azért az egyenlet gyökei euklideszi módon nem szerkeszthetők meg, tehát az x=23 sem. (Másként: A racionális számtestnek a 23 -vel való bővítése harmadfokú bővítés, és a 3 a 2-nek nem lehet egész kitevős hatványa.)

A szögharmadolás szerkesztési feladatát a trigonometriából ismert cosα=4cos3α3−3cosα3 képlettel írhatjuk át algebraivá, ha adottnak tekintjük az a=cosα -t, és keressük az x=cosα3 -at. Megoldandó tehát a 4x3−3x−a=0> egyenlet, ahol a [-1, +1] intervallumban a minden értéket felvehet. Az egyenlet polinomja általánosságban irreducibilis a racionális számtest fölött, azaz nem minden megengedett a-ra nézve reducibilis (bár ha például a = 1, akkor igen), azért az egyenlet gyökei euklideszi módon nem szerkeszthetők meg.

A körnégyszögesítés feladata azt kívánja, hogy szerkesszünk egy adott r sugarú kör területével egyenlő területű négyzetet. Legyen e négyzet oldala: x, és az egyszerűség kedvéért r = 1, ekkor megoldandó az x2=π , illetve az x2−π=0 egyenlet. Itt a szerkeszthetőség a π szám természetén múlik. Csak a XVIII. században sikerült kimutatnia Heinrich Lambert (1728-1777) svájci származású matematikusnak és tőle függetlenül Adrien Marie Legendre (1752-1833) francia matematikusnak, hogy a π irracionális szám. Ekkor még megvolt a szerkeszthetőség reménye, de 1882-ben Ferdinand Lindemann (1852-1939) kimutatta, hogy π transzcendens szám, azaz olyan szám, amely semmiféle racionális együtthatójú algebrai egyenletnek nem lehet gyöke. Ezért a racionális számtestnek nincsen olyan véges számú algebrai bővítése, amely a π -t tartalmazná, és persze akkor a π -t sem. Így:az euklideszi szerkesztés itt sem járható út.

Kitűnő tankönyvet írt A geometriai szerkesztések elmélete címmel Szőkefalvi-Nagy Gyula 1943-ban.