AZ EUKLIDESZI SZERKESZTÉSSEL VALÓ MEGOLDHATÓSÁG

A három ókori probléma szerkesztéssel való megoldásaiban kivétel nélkül mindegyikben szerepelt nemeuklideszi lépés: vagy „neuszisz” szerkesztés, vagy euklideszi módon nem szerkeszthető görbe. Korán felvetődött az a kérdés, hogy a tárgyalt feladatok egyáltalán megoldhatók-e euklideszi szerkesztéssel? Éppen ennek a kutatása indított el a matematikában sokirányú fejlődést, és éppen ez adja meg a három feladat jelentőségét. Mielőtt a szerkeszthetőség kérdésére felelnénk, fogalmazzuk meg pontosan, hogy mit értünk euklideszi szerkesztésen, milyen adatokat és milyen eljárásokat szabad használnunk. A szerkesztés adatai: ugyanazon síkban adott pontok, egyenesek és körök. Ezekből kell újakat származtatni körzővel és egyélű vonalzóval, ha csupán az alábbi lépéseket engedjük meg:

1. Két egyenes metszéspontjának a kijelölése.

2. Két kör metszéspontjának a kijelölése.

3. Egyenes és kör metszéspontjának a kijelölése.

4. Két ponton át egyenes rajzolása.

5. Két pont távolságának körzőnyílásba vétele és ezzel adott, vagy már megszerkesztett pontból mint centrumból kör rajzolása.

Nem szabad tetszőleges nyílású körzővel kört rajzolni; a kör sugara mindig adott, vagy az adatokból megszerkeszthető távolság kell hogy legyen. A szerkesztési feladatot akkor tekintjük megoldottnak, ha megadtunk egy, a keresendő alakzatot előállító, véges számú lépésből álló általános eljárást, amely tehát valamely szerkesztési feladat bármilyen konkrét adatainál alkalmazható, és természetesen csak a felsorolt, megengedett mozzanatokból tevődik össze. A derékszögű koordináta-rendszerben a fenti adatok, tehát a pont, az egyenes és a kör, számokkal jellemezhetők: a pont két koordinátájával, az egyenes tengelymetszeteivel, a kör középpontjának koordinátáival és sugarának hosszával. Ezek a számok meghatároznak (generálnak) egy számtestet. (A számtest a számok olyan halmaza, amelyen értelmezve van az összeadás és a szorzás, mindkettő asszociatív és kommutatív, valamint elvégezhető a test elemei közt a kivonás és a 0-tól különböző osztóval való osztás is.) Ezt a legszűkebb számtestet, amely a szerkesztés adatait jellemző számokat tartalmazza, szokás alapszámtestnek nevezni. Jelöljük ezt K-val. Tegyük fel, hogy ez éppen a racionális számok halmaza, vagyis a racionális számtest, és kísérjük végig a szerkesztést az egyes lépéseknek megfelelő koordinátageometriai számításokkal. Két egyenes metszéspontjának vagy két pont közös egyenesének a meghatározásához elegendő elsőfokú egyenletet megoldanunk, amihez csak a négy alapművelet szükséges. Ezek az alaptestben elvégezhetők, tehát annak kibővítésére nincsen szükség. Az egyenes és a kör metszéspontjának, vagy két kör metszéspontjának, valamint egy kör adatainak a meghatározásához már esetleg másodfokú egyenlet megoldása is szükséges. Az eredmény lehet irracionális szám is és komplex szám is. Ilyenkor a példának választott racionális számtestet ki kell bővítenünk, legalább a megoldott másodfokú egyenlet gyökeivel. Ha például az egyik gyök 2 volna, akkor a racionális számtesthez csatoljuk (adjungáljuk) a 2 irracionális számot. Azt mondjuk, hogy az eredeti racionális számtest és a 2 generál egy olyan számtestet, amelynek a racionális számtest részteste. Ezt a bővebb K₁ testet a K alaptest bővítésének nevezzük, és K₁|K -val jelöljük ( K₁ a K bővítése). K₁ tartalmazza tehát a racionális számtestet, valamint az összes a + b² alakú irracionális számot, ahol is a és b a K alaptest elemei. Ha pedig a másodfokú egyenlet megoldása komplex szám, akkor a megelőző számtesthez kell adjungálni a komplex gyököket. Ezek együtt most generálnak egy g + h_i alakú komplex számokból álló olyan számtestet, amelynél a g és h a megelőző számtest elemei. Példaképpen induljunk ki a valós számtestből. A valós számok az egydimenziós számegyenesen ábrázolhatók. Bővítsük ki a valós számtestet a komplex számok testévé. Ennek elemei, az a + b_i alakú komplex számok már csak a komplex számsíkon az a; b koordinátájú vektoroknak feleltethetők meg. Az a és b valós számok és a komplex számsík természetesen kétdimenziós. Ilyen értelemben mondhatjuk, hogy a komplex számok a valós számtest fölötti kétdimenziós vektorokat jelentik, illetve a komplex számtest a valós számtest fölött értelmezett vektortér. A vektortér dimenzióját a neki megfelelő számtest fokának (rangjának) nevezzük. Ha a valós számtest résztestét valós számok adjungálásával bővítjük, akkor a bővítést elsőfokúnak, ha pedig a valós számtestet komplex szám adjungálásával bővítjük, akkor a bővítést másodfokúnak mondjuk. Mivel a szerkesztési eljárásunkat kísérő koordinátageometriai számításaink közben kettőnél magasabb fokú egyenletet nem kell megoldanunk, azért az egyenletmegoldást megelőző számtestet vagy nem szükséges bővítenünk, vagy elsőfokú, vagy pedig másodfokú bővítést kell végrehajtanunk. Megjegyezzük, hogy a bővítés mindig egyenlet gyökeinek az adjungálásával történik, azaz olyan számmal, amely valamelyik algebrai egyenletnek gyöke lehet, röviden: mindig algebrai bővítést végzünk. Ilyen bővítések során nyerjük az alaptestből a K · K₁ · K₂ · K₃ ·…· K_n=L bővítéssorozatot, ahol minden K_i az előtte levő K_i−1 -nek legfeljebb másodfokú bővítése, és az utolsó L bővítés már tartalmazza a megszerkesztendő alakzat minden jellemző számadatát. Tekintve, hogy az egymás utáni bővítések során a fokszámok összeszorzódnak, azért a K-nak L-re való bővítésének a fokszáma 2-nek nemnegatív, egész kitevős hatványa. Ez a szerkeszthetőség elegendő feltétele. Igazolható azonban a tétel megfordítása, azaz szükséges volta is.