A LOGARITMUS FELTALÁLÁSA

A logaritmusszámolás Bürgi és Napier szellemét és hihetetlen szorgalmát dicséri.

Joost Bürgi (1552-1632) a svájci Lichtensteigben született. Híres órás- és műszerkészítő mesterként dolgozott Kasselban és 1603-tól 1622-ig Kepler mellett Prágában. Itt sokat segített a világhíres csillagásznak nemcsak az eszközök javításával, hanem csillagászati megfigyelésekkel és számításokkal is. Éppen a hosszadalmas és unalmas számítások elkerülése végett készítette el 1603 és 1611 között az első logaritmustáblázatot. Mintául vette Stevin kamatoskamat-táblázatát, amelyben az

(1+p100)ⁿ

értékei szerepeltek a p kamatláb és az n év különböző eseteiben. Így a

T_n=t(1+p100)ⁿ

képlet használatánál csak egyetlen szorzást kellett elvégezni. (A képletben T_n a t kezdeti tőkének a p százalék mellett n év alatti kamatos kamataival felszaporodott értéke.) Rögzített p esetén az (1+p100)ⁿ tényező egy mértani sorozatot definiál. Bürgi ebből indult ki. Tudta, hogy minél kisebb p értéket választ, annál sűrűbben nyeri a sorozat elemeit. Nála p = 0,01. Az így kapott mértani sorozat minden eleméhez hozzárendelte a 0, 10, 20, 30, … számtani sorozat egy-egy elemét. A számtani sorozat elemei a nyomtatásban pirosak, a mértanié pedig feketék voltak. Így például bármelyik két fekete szám szorzatához a megfelelő két piros szám összege tartozik. A mai szóhasználattal élve: bármely fekete szám logaritmusa az alatta levő piros szám.

Bürgi táblázata 1611-ben készen volt, de Kepler szorgalmazása ellenére is csak késedelmesen, 1620-ban látott napvilágot az Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen (Aritmetikai és geometriai haladvány-táblázatok). A közlés elsőségét tehát Bürgi elvesztette, mert 1614-ben már megjelent

John Napier (1550-1617) skót matematikusnak a Mirifici logarithmorum canonis descriptio (A csodálatos logaritmustáblázat leírása, röviden: Descriptio) című összeállítása. Ebben a 0º-tól 90º-ig növekvő szögek trigonometrikus számainak a 8 jegyű logaritmusai találhatók, miközben a szög 1'-es ugrásokkal változik. A táblázat elkészítési módjának az alapötlete, amelyre Napier 1594-ben jött rá, új volt. A sorozatok összehasonlításának régi módszere mindig diszkrét értékek sorozatát adta, habár ezeket tetszőlegesen lehetett sűríteni. A skót tudós azonban két elképzelt mozgásból indult ki (Galilei előtt!), és két folytonos függvény között létesített kapcsolatot (a modern analízis fegyverei nélkül!). A logaritmus szót Napier készítette a görög logosz = arány és az arithmosz = szám szavak összevonásával. A szó latinos alakja, a logaritmus tehát viszonyszámot, arányszámot jelent. Ha az így meghatározott Napier-féle logaritmust „Naplog”-nak rövidítjük, akkor

y = Naplog x.

Napier teljesen tisztában volt felfedezésének jelentőségével, hiszen életének több mint 20 évét áldozta arra, hogy táblázata 1614-ben megjelenhessék. A táblázat elkészítésének részletezését tartalmazó Mirifici logarithmorum canonis constructio (röviden Constructio = szerkesztés, felépítés) csak halála után, 1619-ben jelent meg.

A matematika reneszánszát nem lehet egyetlen évvel lezárni. E korszak elhatárolására a XVI. század már említett nevei mellett a legalkalmasabbnak mutatkozik

Francois Viéte (Vieta, 1540-1603) francia matematikus. Matematikai munkásságát foglalja össze életének fő műve, az In artem analyticam isagoge (Bevezetés az analízis tudományába). A címben az analízis szó az algebrát jelenti. Könyvét részletekben kezdte közölni 1591-től kezdve. A teljes mű csak halála után jelent meg, 1646-ban Leidenben, Franz van Schooten (1615?-1664) kiadásában. Viéte ebben áttekintette a korában kialakult új algebrát, de nem elégedett meg csak ennyivel. Szükségét érezte annak, hogy az egyenletmegoldási eljárásokat - amennyire lehet - egységesítse. Ehhez azonban mindenekelőtt egységes és áttekinthető írásmódra, alkalmas jelrendszerre volt szükség. Viéte egyik nagy újítása, hogy az egyenletek együtthatóit is betűkkel írta fel. Az együttható szót Viéte már teljesen a mai értelemben használta. Az ügyes egyenletmegoldó Viéte az egyenletek elméletét is fejlesztette. Többek között sok összefüggést állapított meg az egyenlet gyökei és együtthatói között. Az ő nevét viseli az

a_n=(−1)ⁿx₁+x₂+…+x_n

összefüggés, amely az

x_n+a₁x_n−1+…+a_n−1x+a_n=0

egyenletre vonatkozik. Ezt, a harmadfokú egyenletre már Cardano által kimondott összefüggést, Viéte általánosította pozitív gyökök esetére. Azt is megállapította, hogy az x³+p=3qx egyenlet két pozitív gyökére nézve :

x₁²+x₁x₂+x₂²=3q és x₁x₂²+x₂x₁²+p

Nicol Oresme (Oresmicus, 1320?-1382). korának talán legnagyobb műveltségű, gyakorlati érzékkel is megáldott tudósa volt, aki lelkes prédikátori és teológusi hivatásának gyakorlása mellett felvilágosult elvekkel ítélte el az asztrológiát, fordításaival hozzájárult a francia tudományos nyelv kialakításához, és nem lebecsülendő a tudományokat népszerűsítő munkája sem. A matematikatörténet sem feledkezhet meg róla, mert nála találjuk az exponenciális függvény fogalmának a csíráit; a koordinátageometria megszületésének egyik jeles úttörője volt, és ügyesen bánt a sorokkal.

A középkornak ez a kiemelkedő matematikusa érdeklődéssel és eredményesen foglalkozott a sorok összegezésével is. Rendszerint itt is segédeszközül használta a grafikus ábrázolást. Teljes tudatossággal megkülönböztette a divergens sorokat a konvergensektől.

Említésre méltó még, hogy Oresme felismerte a mozgások relatív voltát, amikor leszögezte, hogy egyetlen érvet sem ismerünk annak az eldöntésére, hogy a csillagos ég forog az álló Föld körül, vagy az álló égi szférában forog a Föld a tengelye körül. Közgazdasági elméleteit a De mutationibus monetarum (A pénzek változásairól) című könyvében foglalta össze.

A XV. és XVI. század matematikai központjai Itália nagy városaiban, valamint a közép-európai Bécsben, Nürnbergben és Prágában alakultak ki. E korszak első nagy matematikusa a német Regiomontanus (1436-1476) volt. Eredeti neve Johannes Müller. A kor szokása szerint szülővárosának, a frankhoni Königsbergnek latin nevét vette föl. Nagy műveltségű, széles látókörű tudósként foglalkozott a matematikán és a csillagászaton kívül műszerkészítéssel, könyvnyomtatással és fordítással is. Lipcsében és Bécsben tanult. Bécsi mestere, Georg Peuerbach (1423-1461) megkezdte Ptolemaiosz Almagesztjének görögből latinra fordítását. Ezt a munkát Regiomontanus fejezte be. Rómában, Velencében és más itáliai városokban ismerkedett meg a görög matematika és csillagászat klasszikus műveivel. A bécsi egyetem katedrájáról barátja, a nagy humanista, Vitéz János esztergomi érsek csábította át Esztergomba, ahol néhány évet töltött. Tanított a pozsonyi egyetemen is és 1468-tól 1471-ig Mátyás király udvarában élt, ahol a Corvina könyvtár görög kéziratait rendezte. Itt írta az Ephemerides című csillagászati művét, amelyet Kolumbusz is felhasznált felfedező útján. Regiomontanus korának szokásaihoz híven, asztrológiával is foglalkozott. Érdekesség, hogy hazánkban a legelterjedtebb asztrológiai könyv Regiomontanusé volt, amint annak címlapján a Királyhegyi János név is tanúsítja. Ő készítette 1473-ban az első olyan csillagászati táblázatot, amely bármely időpontra meghatározta a Nap és a Hold egymáshoz viszonyított helyzetét. Ennek a földrajzi hosszúság meghatározásában volt fontos szerepe, különösen éjszakai hajózásnál. Regiomontanus 1471-ben Nürnbergbe költözött, ahol Bernhard Walter nevű tanítványa egy csillagvizsgálót és egy nyomdát rendezett be számára. A következő három évben ebben a nyomdában adta ki műveit. 1475-ben IV. Sixtus pápa hívására Rómába utazott, hogy közreműködjék a sürgőssé vált naptárreformban. Ebben azonban megakadályozta hirtelen halála. Azt beszélték, hogy a trapezunti Georgiosz (1393-1486) fiai mérgezték meg, amiért apjuk Almageszt-fordítását Regiomontanus élesen megbírálta. Halálának hivatalos oka a pestis. A következőkben tekintsük át a nagy humanista matematikai érdemeit.

1464-ben Páduában előadás-sorozatot tartott al-Fargáni (Alfraganus, ?-861) arab csillagászról. Ennek bevezetésében matematikatörténeti összefoglalást adott, a maga nemében Európában az elsőt. Ebben azt is megemlítette, hogy Diophantosz 13 könyvét ő fordította le először görögről latinra.

Ugyancsak 1464-ben fejezte be a Rómában, még 1462-ben megkezdett, De triangulis omnimodis libri quingue (Öt könyv mindenféle háromszögekről) című, legjelentősebb matematikai munkáját. Nyomtatásban ez a mű, amely csak halála után, 1533-ban jelent meg Nürnbergben, meghatározó módon előmozdította a trigonometria fejlődését. Regiomontanus könyve után vált el véglegesen a trigonometria a csillagászattól, és lett a matematika külön fejezete. Igaz, hogy már Nászraddín at-Túszi is a csillagászattól külön tárgyalta a trigonometriát, de ő követőkre nem talált. Regiomontanus kifejtette, hogy a síkgeometriai problémák lényeges hányada visszavezethető háromszögmegoldásokra, és ezért szükséges kidolgozni egy, a háromszögekkel foglalkozó elméletet.

Nicolas Chuquet (1445?-1500?). Ez a francia orvos Párizsban született és Lyonban praktizált. 1484-ben fejezte be a De triparty en la science des nombres (A számok tudománya három részben) című művét, amely nyomtatásban csak sajnálatosan későn, 1880-ban jelent meg. Mégsem maradt teljesen hatástalan, mert a lyoni Étienne de la Roche tekintélyes részeket vett át Chuquet kéziratából az 1520-ban és 1538-ban megjelent, L’arismetique nouvellement composée (Új aritmetikai írások) című könyvében. Ezzel a közvetítéssel Chuquet újításai befolyásolhatták az algebra korabeli fejlődését. Valószínű, hogy a francia orvost a matematika művelésére Fibonacci Liber Abacija késztette, hiszen Lyonban nem elhanyagolható számban éltek olaszok.

A bevezetés a racionális számok aritmetikai műveleteit ismerteti meg, a hindu-arab számírást használva. Itt olvashatók először a millió utáni billió, trillió stb. számnevek a nonillióig bezárólag. Ismertette a negatív számok közti műveleteket is. A négy alapművelet számára a francia plus (több), moins (kevésbé), multiplier (szorozni) és partir (osztani) neveket használta. Az első kettőt rövidítette is a felül jelölt p˜ és m˜ kezdőbetűkkel. Utóbbi a negatív számot is jelentette. Az ismeretlen részére nem vezetett be betűjelet, hanem annak fokát az együtthatójának a kitevőjébe írta indexként

Feltétlenül figyelmet érdemel, hogy Chuquet egy táblázatba társította 2-nek a természetesszám-kitevőjű hatványait a kitevőkkel, és így nyerte az alábbi elrendezésben a következő két sorozatot:

1, 2, 3, 4, 5, …, 18, 19, 20.

21, 22, 23, 24, 25, ..., 218, 219, 220.

E két, egymáshoz rendelt számtani és mértani sorozatra vonatkozólag megjegyezte, hogy a második sorozatban két elem szorzatának a kitevőjét megkaphatjuk, ha az első sorozat megfelelő két elemét összeadjuk. Ez a megfigyelés a XVII. század elején a logaritmusfogalom megszületéséhez vezetett.

Nicolo Fontana (Tartaglia) (1500? - 1557) egy szegény lovasküldönc fia volt, korán árvaságra jutott. Veronában matematikatanítással kereste kenyerét, és azzal, hogy megoldotta a hozzá forduló iparosok, kereskedők, építészek, tüzérek számolási problémáit.

A XVI. században az egyenleteket még mindig pozitív együtthatókkal írták fel, és ezért megoldás szempontjából külön problémát jelentett például az x³+bx=c, az x³=bx+c és az x³+c=bx egyenlet. Megoldásukat külön-külön keresték. Az első harmadfokú egyenlet, amellyel Tartaglia próbálkozott,

x³+ax²=c

alakú volt. Gondolatmenete, amely nem maradt ránk, E. Bartalotti olasz matematikatörténész szerint a következő lehetett: Feltételezte, hogy az egyenlet gyöke

x=p−q

alakú. E feltételezett kifejezés négyzete és köbe :

x²=p+q²−2qp

x³=−q(3p+q²)+(3q²+p)p

Szorozzuk most a négyzetet (3q²+p) -vel és a köböt 2q-val:

(3q²+p)x²=(p+q²)(3q²+p)−2q(3q²+p)p

2qx³=−2q²(3p+q²)+2q(3q²+p)p

Összegük:

2qx³+(3q²+p)x²=q⁴−2pq²+p²=(q²−p)²

Ez osztva 2q-val :

x³+3q²+p²qx²=(q²−p)²2q

A most nyert és az eredeti egyenlet összehasonlítása alapján:

a=3q²+p²q és c=(q²−p)²2q

Az elsőből p=2aq−3q²

Ezt beírva a másodikba: c=2q(2q−a)²

Innen azonban Tartaglia nem jutott tovább, mert ez az egyenlet q-ban teljes harmadfokú, megoldása tehát nehezebbnek látszik, mint az eredetié.