PASCAL az oszthatatlanok elméletét felhasználva, a róla elnevezett számháromszög segítségével és jó adag intuícióval jutott el az y=xⁿ parabola alatti terület kiszámításához. Az oszthatatlanok módszerével meghatározta a szinuszgörbe alatti területet, a [0,π] intervallum fölött. Ebben található az egyik ábrán a ma differenciálháromszögnek vagy karakterisztikus háromszögnek nevezett háromszög, amely különösen Leibniz kezében vált a differenciálszámítás egyik alapábrájává.

Megjegyzendő, hogy ez a háromszög nem Pascalnál jelent meg először. Használta már 1624-ben Snell, majd Torricelli és Roberval is. Pascal volt azonban az első, aki hangsúlyozta, hogy e háromszög két oldalának BG : GD hányadosa mindig egyenlő az EF : AF hányadossal, bármilyen kicsinynek választjuk is a CH intervallumot. Ebben a megállapításban benne rejlik egy hányados határértékének a fogalma, ugyanakkor a számítási eljárás egésze összefüggést mutat a görbe érintője és a görbe alatti terület között. Hajlandók lennénk azt mondani, hogy Pascal 1659-ben kiengedte a kezéből a differenciálhányados és az integrál fogalmának, valamint az azok közötti összefüggésnek a felfedezését. Maga Leibniz is azt írta Johann Bernoullinak 1703-ban, hogy Pascal mintha bekötött szemmel járt volna.

Ugyanezt mondhatjuk el Pascal barátjáról, Fermatról is. Már láttuk, hogy az analitikus geometria felfedezésének a dicsősége is szinte jobban megilletné őt, mint Descartes-ot. Majdnem így van ez a differenciálszámítás esetében is. Fermat, aki szenvedélyesen szerette a görög és a latin klasszikusokat, Papposznál találkozott a következő feladattal: Ha egy a szakaszt két részre osztunk, és az így nyert x és (a-x) szakaszokkal téglalapot készítünk, akkor ennek a t = x(a - x) területe legnagyobb lesz, amikor x = a - x, vagyis amikor a szakaszt felezzük. Ettől a gondolattól ösztönözve Fermat valamilyen általános módszert igyekezett kiagyalni a maximum- és a minimumesetek megállapítására. A most vázolandó módszerét 1630 táján találta meg, de csak 1638-ban közölte egy Descartes-hoz intézett levelében. Így gondolkodott: Mérjünk fel az adott a szakaszra valamekkora x távolságot! Az x és az (a-x) szakaszokkal szerkesztett téglalap területe T=x(a-x). Ha most az x távolság helyett valamilyen (x+E) távolságot mérünk fel, akkor az így készített téglalap területe: T'=(x+E)(a-x-E). A maximális terület esetén a T kifejezésből éppen úgy meg kell kapnunk a maximális értéket, mint a T'-éből, azaz ekkor kell, hogy T=T' legyen, vagyis T'- T =0. Részletesen:

(x + E)(a - x - E) - x(a - x)=0

amiből:

aE−2xE−E²=0 , azaz a-2x-E=0

Ugyanakkor számításba veendő, hogy a T'= T esetén, Papposz szerint x = x + E, ami csak úgy lehet, ha E = 0. Ekkor pedig a - 2x = 0, tehát x=a²

A matematikatörténetben ez az első olyan gondolatmenet, amelyben egy változót megnövelünk egy kis értékkel, és azután a növekményt nullának nyilvánítjuk. Fermatnál hiányzott még az a “kis” mozzanat, amely felel arra, hogy az E-vel jelölt kis növekmény fokozatos zérussá válásakor mivé válik az E-t tartalmazó kifejezés, vagyis hiányzott a határérték fogalma. Ő inkább úgy gondolkodott, hogy a változó növelésével egy hamis egyenletet kapott, amely éppen a maximum esetén válik helyessé, és ennek a feltétele az, hogy E=0 legyen. Azt sem tudta megindokolni, hogy az E=0 esetben miért éppen a maximumhelyet kapja meg.

Kísérjük végig Fermat gondolatmenetét mai általános jelölésekkel! Írjunk hát az y=x(a-x) helyett y=f(x)-et, és az E helyett Dx-et, valamint az y változását jelöljük Δy-nal! Ekkor:

y=f(x)y+Δy=f(x+Δx)Δy=f(x+Δx)−f(x)ΔyΔx=f(x+Δx)−f(x)Δx

f(x) maximális lesz - mondja Fermat -, ha Δx=0 esetén Δy/Δx=0

Fermat tehát eljutott a differenciahányadosig, és valóban csak pici hiányzott ahhoz, hogy eljusson a differenciálhányadosig.