A MATEMATIKAI ANALÍZIS TÖRTÉNETE

A matematikai analízist, a differenciál- és integrálszámítást, különösen kezdetben, a végtelen kicsiny mennyiségekkel, az infinitezimálisokkal való számolás jellemezte. Ezért szokás infinitezimális számításnak is nevezni. Azok a feladatok, amelyeknél felmerült az infinitezimálisokkal való számolás szüksége, nagyjából két csoportba oszthatók. Az egyikbe tartoznak az érintőkkel kapcsolatos számítások és a változások sebességének a meghatározása. Ezekkel foglalkozik a differenciálszámítás. A másik csoportba sorolhatók a terület-, térfogat-, súlypont- és nyomatékszámítások, amelyek általánosságban az integrálszámítással oldhatók meg.

Amint azt Arkhimédész-nél is láttuk, az integrálszámítással megoldható feladatoknak már az ókorban komoly hagyományai voltak. Szigorúan véve ezek nem számítások, hanem bizonyítások: A matematikában megkövetelt szabatosságnak meg nem felelő módszerekkel megsejtett eredmények igazolásai. A szó szoros értelmében vett számítást a határérték fogalmának tisztázása tette lehetővé, amikor világossá lett, hogy az infinitezimálisok valójában határértékek. Ennek a felfedezésnek a hiányában Arkhimédész rendszerint mechanikai jellegű, olyan eljárással indult, amelynek a mélyén ott rejtőzött a geometriában elfogadhatatlan atomos felfogás, amely szerint valamely geometriai alakzat elemi, tovább nem osztható alakzatok összessége. A bizonyításhoz pedig tökéletes biztossággal használta Eudoxosz kimerítési eljárását .

Bonaventura Cavalieri (1598-1647) olasz matematikus, Galilei tanítványa. 1635-ben jelent meg sokévi munkájának eredményeként a Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Az új módon kifejtett oszthatatlan folytonos mennyiségek geometriája). Ezt követte 12 évvel később az Exercitationes geometricae sex (Hat geometriai gyakorlat). E két mű tette nevét halhatatlanná. A maga korában mindkettő komoly vetélytársa volt Kepler Doliometriájának (Hordószámítás). Ezekben dolgozta ki Kepler és Galilei elképzelései nyomán az oszthatatlanok elméletét. Valójában visszament Arkhimédész-nek ahhoz az alapötletéhez, hogy egy síkidomot párhuzamos húrjai vagy egy testet párhuzamos síkmetszetei összességének tekintett. Ez valójában a geometriában tarthatatlan atomos felfogás. A síkidom atomjai, oszthatatlanjai a húrok, a testé pedig a síkmetszetek. Kepler-nél egy alakzat oszthatatlanjai az alakzattal azonos dimenziójú infinitezimálisok voltak, Cavalieri-nél pedig a felbontott alakzaténál eggyel alacsonyabb dimenziójú “végtelen kicsinyek”. Erre a gondolatra építette fel Cavalieri a terület- és a térfogatszámításban gyümölcsöző számolási eljárást, amely később a határozott integrál fogalmához vezetett.

A határozott integrál fogalma elsődlegesen Leibniznél jelentkezett végtelen sok, végtelen kicsiny differenciál összegeként. Ezt fogalmazta meg szabatosabban Cauchy, majd Riemann. Riemann az 1854-es doktori értekezésében így írt: Mit értünk az ∫abf(x)dx -en? Azért, hogy erre feleljünk, vegyük fel az a és b egymás utáni mennyiségek között az x₁ , x₂ , ... , x_n−1 értékek sorozatát, és a rövidség kedvéért jelöljük ( x₁ - a)-t δ₁ -gyel, ( x₂ - x₁ ) -et δ₂ -vel, ... , (b - x_n−1 ) -et δ_n -nel, és ε-nal egy pozitív valódi törtet. Ekkor az

S=δ₁f(a+ε₁δ₁)+δ₂f(x₁+ε₂δ₂)+δ₃f(x₂+ε₃δ₃)+…+δ_nf(x_n−1+ε_nδ_n)

összeg értéke függ a δ intervallum és az ε megválasztásától. Ha ez olyan tulajdonságú, hogy bármilyen δ és ε megválasztásánál végtelenül közelít egy meghatározott "a" értékhez, miközben az összes δ végtelen kicsinnyé válik, akkor ez az érték az ∫abf(x)dx .

Azt már Cauchy belátta, hogy az így definiált határozott integrál létezik, minden [a,b] intervallumon folytonos függvénynél. Riemann azonban igazolta, hogy olyan f(x) függvénynek is létezik ez a róla elnevezett integrálja, amely az [a,b] intervallumon korlátos és majdnem mindenütt folytonos. Ez nemcsak elégséges, hanem szükséges feltétel is. A “majdnem mindenütt” kifejezés azt jelenti, hogy az f(x) függvény legfeljebb az [a,b] intervallum pontjainak nulla mértékű halmazán nem folytonos. Egy ponthalmazt akkor mondunk nulla mértékűnek, ha le lehet fedni intervallumokkal úgy, hogy ezek hosszúságainak összege kisebb, mint egy bármilyen adott pozitív "e" szám.

A Riemann-integrál általánosításához vezessük be egy ponthalmaz mértékének fogalmát. Képzeljük el az egyazon egyenesre illeszkedő E ponthalmazt. Legyen továbbá egy intervallumokból (szakaszokból) álló I intervallumhalmaz. Ez utóbbinak valahány, de véges számú intervallumával fedjük le az E halmaz pontjait, és képezzük a beborító intervallumok összegét. A kívánt lefedést és az erre használt intervallumok összegzését végezzük el minden lehetséges módon, és válasszuk ki a kapott intervallumösszegek közül a legkisebbet. Ezt nevezzük az E halmaz mértékének. Belátható, hogy egy szakasz (intervallum) összes pontjainak a lefedéséhez szükséges intervallumösszeg nem lehet kisebb, mint a lefedett szakasz hossza. A ponthalmazok mértékének ez a definíciója, amely kiterjeszthető más halmazokra is, Carl Gustav Harnack (1851-1888) és Otto Stolz (1842-1905) német matematikusok nevéhez fűződik. Ezt finomította Camille Jordan francia és Giuseppe Peano olasz matematikus úgy, hogy a mérhető halmazok mértéke additív legyen, azaz ha a H₁ halmaz mértéke: m(H₁) és a H₂ halmaz mértéke: m(H₂) , valamint a két halmaznak nincs közös pontja, akkor a két halmaz egyesítésének mértéke a két eredeti halmaz mértékének az összege, azaz

m(H₁ U H₂)=m(H₁)+m(H₂) .

E mértékfogalmat használta fel a határozott integrál általánosítására Henri Louis Lebesgue (1875-1941) francia matematikus. Az 1902-es doktori értekezésében általánosította a Jordan-Peano-mértéket azzal, hogy megengedett végtelen sok intervallummal való lefedéseket is. Ezt a Lebesgue-mértéket alkalmazta az általa definiált határozott integrálnál. Ő nem az abszcisszatengely egy intervallumát osztotta fel, hanem ezen intervallumoknak megfelelő függvényértékekből, ordinátákból indult ki. Legyen az a≤x≤b intervallum két szélén az f(x) függvény értéke f(a) és f(b). A közöttük elhelyezkedő függvényértékek:

f(a)=y₀<y₁<y₂<y₃<…<y_n−1<y_n=f(b).

Tekintsük azon x-ek X_k halmazát, amelyekre nézve igaz, hogy a≤x≤b és y_k−1≤f(x)≤y_k , ahol k=1, 2, 3, ... Ha az X_k halmaznak létezik az X_k Lebesgue-mértéke és ha a ∑k=1+ny_km(X_k) összeg egy meghatározott véges L értékhez tart, mialatt |y_k−y_k−1| maximuma tart a 0-hoz, akkor ezt az L határértéket az f(x) függvény Lebesgue-integráljának nevezzük. Tehát:

L=∫abf(x)dx=lim n ->∞ ∑k=1+ny_km(X_k)

Mivel folytonos függvény esetén az X_k ponthalmaz az x-tengely egy intervalluma, azért ekkor a Lebesgue-integrál azonos a Riemann-integrállal. Léteznek olyan nem folytonos függvények, amelyeknek van Lebesgue-integráljuk, de Riemann-integráljuk nincs.