AZ ALGEBRA FEJLŐDÉSE

A babiloni algebra eljutott bizonyos másodfokú, kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásáig és ékírásuknak köszönhetően, ekkor már jelentkezett valamelyes algebrai jelrendszer és gondolkodásmód. Mezopotámia matematikája határozottan algebrai jellegű volt.

A görög ókor nem követte Babilon példáját, nem fejlesztette tovább az ott csírájában már megtalálható algebrai gondolkodásmódot, sőt, hogy az irracionalitással kapcsolatos aritmetikai bonyodalmakat elkerüljék, még a legalgebraibb színezetű matematikai problémákat is geometriai tálalásban fogalmazták meg.

Kína ó- és középkori matematikája határozottan algebrai irányzatú volt. A kínai írás jelei részben betölthették a matematikai jelek szerepét is. A VII. században a fang-fa módszer már magasabb fokú egyenletek közelítő megoldását is lehetővé tette, és alkalmazták a fang-cseng szabályt is, vagyis a lineáris egyenletrendszerek mátrixokkal való megoldását.

A görög, kínai és mezopotámiai forrásokból merítő indiai matematika középkori művelői előszeretettel foglalkoztak határozott és határozatlan egyenletekkel és egyenletrendszerekkel, amint ezt a VII. századi Brahmagupta és a XII. századi Bhászkara művei meggyőzően tanúsítják.

A középkori arab matematikán belül az algebra fejlődését fémjelzi Al-Hvárizmi és Ibn Turk neve. Ők visszatértek ugyan a görög retorikus tárgyalási módhoz, sőt algebrájuk a geometriai módszerektől sem szakadt el, de jelentős haladás náluk, hogy a száraz megoldási utasítások közlése helyett bizonyítanak, magyaráznak.

A XV. században beszélhetünk először igazán szimbolikus algebráról, Chuquet, Pacioli jelöléseinek megszületésétől.

Az algebra a XVI. század elejére a matematikának kifejezetten az egyenletekkel foglalkozó része lett, amelynek legsürgősebb feladatává vált az egyenleteknek csak a négy alapművelettel és a gyökvonással való megoldása.

A XVIII. századi nagy összefoglaló művek, elsősorban Newton Arithmetica universalisa (Általános aritmetika) 1707-ben és a már vak Euler Unyiverzalnaja arifmetyikája 1768-1769-ben hosszú időre megszabták az algebra tárgyát, amely felölelte az egyenletmegoldások kutatását és minden, az algebrai egyenletekkel kapcsolatos kérdés vizsgálatát. Sok matematikus: Newton, Stirling, a Bernoulliak, Lagrange és mások, sokféle módon foglalkoztak a négynél magasabb fokú egyenletek rezolvenseinek a megkeresésével, hiába. A rezolvens meghatározása közben olyan egyenlet megoldása vált szükségessé, amelynek fokszáma az eredeti egyenlet fokánál nem volt alacsonyabb. E hiábavaló keresés nyomán szaporodtak el az egyenletek gyökeinek közelítő meghatározására alkalmas módszerek. Mind élesebben vetődött fel az a kérdés, hogy minden algebrai egyenletnek léteznek-e gyökei, és ha igen, akkor hány? Girard és Descartes után, akik bizonyítás nélkül mondták ki az algebra alaptételét, 1746-ban d'Alambert adott egy nem túl szabatos bizonyítást, amely szerint a komplex számkörben az n-ed fokú P_n(x)=0 egyenletnek pontosan n gyöke van. E tételre az első kielégítő bizonyítást Gauss adta az 1799-es doktori disszertációjában, amely nyomtatásban 1815-ben jelent meg. Később még három bizonyítást talált az algebra alaptételére.

Lehet-e a négynél magasabb fokú algebrai egyenlet gyökeit az együtthatók radikáljaival kifejezni? Galois kimutatta, hogy minden Pⁿ(x)=0 n-ed fokú egyenlethez található a racionalitási tartomány fölött egy olyan egyenlet, amelynek gyökeivel a Pⁿ(x)=0 gyökei racionálisan kifejezhetők, és amelynek megvan az a tulajdonsága, hogy gyökei előállíthatók egyik gyökének és a racionalitási tartomány elemeinek racionális kifejezéseként. Az utóbbi tulajdonságú egyenletet normálisnak nevezzük a racionalitási számtest fölött. Állítsuk elő a Pⁿ(x)=0 egyenlethez tartozó, most leírt normális egyenlet gyökeinek összes permutáció-hozzárendelését. Ezek összessége csoportot alkot, az ún. Galois-csoportot (G). Galoisnak sikerült felfedeznie, hogy szoros kapcsolat áll fenn az egyenlet radikálokkal való megoldhatósága és a Galois-csoport tulajdonságai között. A “radikál” szó jelenti az xⁿ−a=0 alakú algebrai egyenlet megoldását, az aⁿ -t. A radikálokkal való olyan képlettel, amelyben legfeljebb a négy alapművelet és radikálok szerepelnek. Galois nagy érdeme az volt, hogy összefüggést tudott teremteni a Galois-csoportok részcsoportjai és az együtthatók testének a gyökök adjunkálásával létrehozott testbővítések sorozata között. Ebben az a nagyszerű, hogy a bővítések végtelen sok elemének a vizsgálatát helyettesítette a véges számú permutációcsoportok sokkal könnyebb elemzésével. A végeredmény: A Pⁿ(x)=0 algebrai egyenlet a négy alapművelettel és gyökvonással akkor és csak akkor oldható meg, ha az egyenlet Galois-csoportja feloldható. Ez utóbbi megállapításhoz gondoljunk át néhány definíciót:

A G Galois-csoport feloldható, ha van részcsoportjainak olyan

G=G₀ · G₁ · G₂ ·…· G_k−1 · G_k={e}

véges szorzata, amelyben mindegyik részcsoport a megelőzőnek normálosztója (2), {e} a G neutrális eleméből álló csoport, és a

G|G₁ , G₁|G₂ , ..., G_k−1|G_k

faktorcsoportok (1) mindegyike Abel-féle (3).

(1)A G csoport egy faktorcsoportja a G részhalmazainak olyan összessége, amely bizonyos feltételeknek eleget tesz. A faktorcsoport elemei tehát a G csoport részhalmazai. Ha K és L a G csoport két részhalmaza, akkor ezek szorzata, KL azon kl szorzatok halmazát jelenti, amelyekre k є K és l є L . G részhalmazainak valamely F halmaza faktorcsoportja G-nek, ha F minden K, L elemére igaz, hogy KL є F .

(2) Legyen N egy részcsoportja G-nek. Azt mondjuk, hogy N normálosztója G-nek, ha N eleme G egy F faktorcsoportjának. Mivel csak egy ilyen F van, azért bevezethető az F = G | N jelölés, amely jelenti a G csoport N normálosztó szerinti faktorcsoportját. (3) A faktorcsoport Abel-féle, ha a fenti értelemben vett szorzásra nézve kommutatív.

Lagrange, Ruffini, Abel és Galois, akik az egyenletek radikálokkal való megoldhatóságát kutatták, megteremtették a csoport fogalmát. Ennek nyomán a matematikusok fegyelme az egyenletek tanulmányozásártól mindinkább átterelődött az algebrai testek és csoportok vizsgálatára, az algebrai struktúrák kutatására. A régi algebra tárgyköre és módszerei teljesen megváltoztak.

Az algebra további formalizálásában jelentős tényezőként jelentkezett a különböző axiómarendszerek megszületése és vizsgálata. Peano 1888-as aritmetikai és Hilbert 1899-es geometriai axiómarendszere után napvilágot látott a csoportelmélet és a testelmélet axiómarendszere is. Serret és Betti átfogó munkái még nem kellően definiált, inkább csak intuitív jellegű alapfogalmakra építettek. Cayley, Frobenius, Dedekind és Weber már tudatosan axiomatikus tárgyalásra törekedtek.

EDWART VERMILYE HUNTINGTON (1874-1952) amerikai matematikus 1906-ban a csoportelméletet a következő axiómákra alapozta:

A G csoport az elemek olyan halmaza, amelyben bármely két x, y elemre értelmezve van az xy szorzat, és ez a művelet rendelkezik a következő két tulajdonsággal:

1. A szorzás asszociatív.

2. A G halmaz minden a, b, elempárjához található a halmaznak két x,y eleme úgy, hogy xa = b és ay = b legyen

Ugyancsak Huntington állította össze a testelmélet következő axiómáit:

A K test az elemek olyan halmaza, amelyben értelmezve van az x + y összeadás és az x · y szorzás úgy, hogy:

1. Az összeadás és a szorzás kommutatív.

2. Az összeadás és a szorzás asszociatív.

3. A szorzás az összeadásra nézve disztributív: x(y + z) = xy + xz, ha x, y és z K elemei.

4. Minden K-beli a, b elempárra létezik olyan K-beli x, amelyre igaz, hogy a + x = b.

5. Ha a és b K elemei és a+a≠a , akkor létezik K-ban olyan y amelyre teljesül, hogy ay = b.

Az algebra axiomatikus megalapozása felé törekedve fontossá vált a megszabott feltételeket kielégítő összes lehetséges algebrai rendszerek - röviden algebrák - meghatározása, természetesen azonosnak véve az izomorf rendszereket. Elkezdődött a részalgebrák vizsgálata is, vagyis azoknak a részhalmazoknak a kutatása, amelyek éppen úgy eleget tesznek az összes axiómának, mint a részhalmazokat magukba foglaló teljes halmaz.