A SZÁMELMÉLET FEJLŐDÉSE

Annak ellenére, hogy a számelmélet csak a XVII-XVIII. században vált önálló kutatási területté, mégis azt kell mondanunk, hogy ez a matematika legrégibb ága. Eredete a világ minden részén rendszerint visszanyúlik a számmisztikába.

A természetes számokkal párhuzamosan jelentkeztek a törtek is: kezdetben a fél, a harmad és a negyed. Eredetileg a törtfogalomhoz nem kapcsolódott az osztás fogalma.

A negatív számok csak nagyon későn nyertek a matematikában polgárjogot. Szükségességük először az egyenletmegoldásoknál jelentkezett. Diophantosz az egyetlen megoldásakor még úgy ügyeskedett, hogy elkerülje a negatív számokat. Negatív gyököket megoldásul sem fogadott el. Chuquet már jelet is talált ki a negatív számok részére, de az itáliai Cardano csak fiktív számoknak nevezte őket, habár már számolt létezésükkel. Ugyanebben az időben a német Stifel a negatív számokat abszurd számoknak nevezte. Még a francia Viéte is száműzte az egyenletek negatív megoldásait. Descartes már fenntartás nélkül számolt ezekkel a "hamis" számokkal.

Amikor a negatív számok szerepe még eléggé tisztázatlan volt, akkor már jelentkeztek a harmadfokú egyenletek megoldásánál a képzetes számok, illetve a komplex számok. Először Bombelli próbálta megalapozni a komplex számok elméletét. Ez először Argrand-nak és Wessel-nek, majd megnyugtató módon Gauss-nak sikerült 1831-ben, amikor a komplex számoknak a derékszögű koordináta-rendszerben való ábrázolásával minden komplex számot mint rendezett számkettőst definiált. Ugyanezt tette vele egy időben.

A számfogalom fejlődése az algebrához kötötten folyt. Erre jó példa a következő általánosítás is: A racionális számokat az ax + b = 0 egész együtthatós elsőfokú egyenlet gyökeinek is tekinthetjük, ahol a és b egész számok. Ennek a felfogásnak az általánosításából ered az algebrai szám fogalma. Fermat foglalkozott azon számok kutatásával, amelyek valamely egész együtthatójú algebrai egyenlet gyökei lehetnek. Meghatározása szerint algebrai számoknak nevezzük azokat a (valós vagy komplex) számokat, amelyek gyökei lehetnek valamely

a_nx_n+a_n−1x_n−1+a_n−2x_n−2+…+a₁x+a₀=0

n-ed fokú, egész együtthatójú algebrai egyenletnek. Ezt kiegészítendő: Lejeune Dirichlet bevezette az egész algebrai szám fogalmát. Egész algebrai szám az az algebrai szám, amely gyöke lehet az

x_n+a_n−1x_n−1+a_n−2x_n−2+…+a₁x+a₀=0

n-ed fokú, egész együtthatós, algebrai egyenletnek. Ezek szerint a racionális számok azok, amelyek az a₁x+a₀=0 egész együtthatójú, elsőfokú egyenletnek gyökei lehetnek. Az algebrai számok elméletét 1842 táján Ernst Eduard Kummer német matematikus dolgozta ki.

Georg Cantor bizonyította be, hogy léteznek nem algebrai komplex számok is. Kimutatta ugyanis, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható sokaság. Ez belátható, ha az algebrai számokat definiáló n-ed fokú egyenlethez hozzárendeljük a

h=|a_n|+|a_n−1|+…+|a₂|+|a₁|+|a₀|+n

természetes számot - amit szokás az egyenlet magasságának is nevezni -, akkor minden egyes h számhoz csak véges számú egyenlet tartozik. Ezen egyenletek mindegyikének csak véges számú gyöke lehet, azaz mindegyik csak véges számú algebrai számot határoz meg. Így tehát egy rögzített h értékhez véges számú egyenletnek véges számú gyöke, vagyis véges számú algebrai szám tartozik. A h értékek halmaza a természetes számok halmaza, tehát megszámlálható sokaság. Az elmondottakból következik, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható halmaz. Mivel pedig a komplex számok halmaza kontinuum számosságú, azért kell lennie olyan komplex számnak, amely nem algebrai szám. Az ilyen komplex számot Euler nyomán transzcendens számnak nevezzük (transcendo=túlhaladok).

Az is meglepő - és nem is nehéz belátnunk -, hogy a valós számok között is vannak transzcendens számok. Láttuk, hogy az algebrai számok megszámlálható halmazt alkotnak. Még inkább igaz ez az algebrai valós számokra. A valós számok összessége viszont kontinuum számosságú, azaz nem megszámlálható halmaz, tehát kell, hogy legyen köztük - méghozzá végtelen sok - transzcendens szám. Először a π-ről és az e számról derült ki, hogy transzcendens szám. Heinrich Lambert 1766-ban igazolta, hogy π és e irrancionális számok. 1873-ban Charles Hermite (1822-1901) francia matematikus a π-ről és 1882-ben Ferdinand Lindemann német matematikus az "e" számról mutatta ki annak transzcendens voltát.