Cantor azt sejtette, hogy a trichotómia a számosságok rendezésére igaz. A halmazelméleti kutatások során számos kísérlet történt a trichotómia szabatos bizonyítására. Kiderült, hogy a trichotómia teljesen olyan, mint a párhuzamossági axióma a geometriában. Ez úgy értendő, hogy azokból az egyszerű és intuitív módon igaznak elfogadott állításokból, amelyekből később kialakult a halmazelmélet Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszere, nem lehet sem a trichotómiát, sem annak ellenkezőjét bizonyítani. Ezért a halmazelméletben a trichotómiát ma axiómának tekintik, amelyet hozzá lehet csatolni a Zermelo-Fraenkel-féle axiómákhoz.

A későbbi vizsgálatok során kiderült, hogy a trichotómia több sarkalatos halmazelméleti állítással ekvivalens. Ilyen például az a már említett állítás, hogy megszámlálható, illetve hogy ez az állítás általánosítható tetszőleges számosságra. A trichotómiával ekvivalens az ún. kiválasztási axióma is. Ez azt mondja ki, hogy, ha az A halmaz elemei nem üres halmazok, akkor van olyan B halmaz, amelynek A minden elemével pontosan egy közös eleme van. Megállapodás szerint, ha a trichotómiáról mint axiómáról beszélünk, akkor az egységesség érdekében kiválasztási axiómának hívjuk.

1897-ben azonban Cesare Buraliforti (1861-1931) torinói matematikus felfedezte a Cantor-féle ún. naiv halmazelmélet egyik ellentmondását. Tekintsük - mondta - az összes halmazok halmazát. Nyilván ennek a halmaznak a számossága a legnagyobb, vagy legalábbis ennél nagyobb számosság nem képzelhető el. Ez viszont ellenkezik Cantor azon megállapításával, hogy legnagyobb számosság nincs. Egy másik halmazelméleti ellentmondás Bertrand Russel-től ered. Ez az 1902-ben született paradoxon a következő: Vannak halmazok, amelyek önmagukat elemként tartalmazzák, mint például a budapesti egyesületek szövetsége. Ez, minthogy maga is budapesti egyesület, azért e szövetségnek tagja. Nevezzük az önmagukat elemként nem tartalmazó halmazokat rendes halmazoknak, az önmagukat tartalmazókat pedig rendellenes halmazoknak. Az összes rendes halmazok H halmaza vajon rendes vagy rendellenes halmaz-e? Tételezzük fel, hogy H rendes halmaz. Ekkor önmagának nem eleme, de így nem lehet az összes halmazok halmaza. A másik lehetőség szerint H rendellenes halmaz, azaz önmagának eleme. Ekkor viszont H elemei között van egy rendellenes halmaz, tehát H nem az összes rendes halmazok halmaza.

Ezek és a hozzájuk hasonló ellentmondások felkavarták a kedélyeket a halmazelmélet körül, éppen akkor, amikor nagyfokú használhatóságáról a matematikusok mind jobban kezdtek meggyőződni. A mentőakció három felől is elindult. Először az egyik halmazelméleti paradoxon megfogalmazója, Russel és annak munkatársa, Whitehead kísérelte meg az orvoslást. Abból indultak ki, hogy a matematika a logika része (logicizmus), az ellentmondás oka tehát logikai tévedés. Ezt abban vélték felfedezni, hogy a halmaz Cantor-féle definíciója megenged olyan halmazt is, amely elemként tartalmazza az éppen definiálandó halmazt. Az tehát az orvosság, hogy az ilyenfajta meghatározásokat törölni kell a halmazelméletből. A gyakorlati végrehajtás után azonban igen lecsökkent a megengedhető halmazféleségek száma, és azért a matematika számos más területén - ahova a halmazelméleti fogalmak már jócskán beszivárogtak - kellemetlen, sokszor megoldhatatlannak tűnő nehézségek léptek fel. A logicisták mentési munkája bizonyára azért volt sikertelen, mert abból a hibás tételből indultak ki, hogy a matematika a logika része.

A másik mentési kísérletet az intuicionisták indították meg Luitzen Egbert Jan Brouwer holland matematikus vezérletével. Ez az irányzat arra épített, hogy az ismeretszerzés valójában nem tapasztalati és nem logikai úton, hanem az intuíció (a belső látás) útján történik. A halmazelméleti ellentmondások okát a logikai törvények mechanikus alkalmazásában látták, és úgy vélték, hogy a matematikában csak a megkonstruálható fogalmak fogadhatók el, ha el akarjuk kerülni az ellentmondást. A felfogás tetszetősnek látszik, de a végrehajtás során kiderült, hogy az intuicionizmus álláspontját elfogadva, le kellene mondanunk a matematika tekintélyes és az alkalmazások próbáit sokszor kiállott részéről. Ez olyan lenne, mintha a betegségek ellen a halállal akarnánk védekezni.

Mind e mai napig az antinómiák kiküszöbölésének legtökéletesebb eszköze a Hilbert által tanácsolt axiomatikus módszer. E szerint a halmazelméletet és az egész matematikát jó axiómarendszerrel kell megalapozni, és akkor az ellentmondások megszűnnek. A halmazelmélet axiomatikus megalapozása először Zermelónak sikerült 1908-ban. Ugyanő volt, aki 1930-ban Cantor műveinek a kiadását gondozta. Axiómarendszerét kiegészítette egy axiómával Abraham Fraenkel izraeli matematikus, aki Fekete Mihállyal (1886-1957), Fejér Lipót tanítványával, a jeruzsálemi Einstein Akadémián dolgozott. A halmazelmélet egy másik axiómarendszerét állította össze Neumann János, majd később ehhez hasonlót fogalmazott meg Isaak Paul Bernays zürichi matematikus, a bizonyításelméletben Hilbert munkatársa. Ezekkel az axiómarendszerekkel a Cantor-féle halmazelmélet minden lényeges tétele bebizonyítható, az ellentmondások fellépte nélkül.

Ezek után úgy tűnt, hogy minden tökéletesen rendbe jött. Olyan használható axiómarendszerek birtokába jutottunk, amelyen belül az ellentmondásokat hordozó halmazok nem is léteznek. Az összes halmazok halmaza például nem halmaz, tehát fel sem merülhet az az ötlet, hogy önmagának eleme legyen. Igaz, hogy ezt az önmagával szembeni, legújabb kori követelményt a matematika több ága nem elégíti ki megnyugtatóan. A XX. Századi axiomatikus halmazelmélet további izgató problémaköre a kiválasztási axióma és a kontinuumhipotézis köré csoportosul. Sokan úgy vélték, hogy minden tökéletesen rendbe jött. Olyan használható axiómarendszerek birtokába jutottunk, amelyen belül az ellentmondásokat hordozó halmazok nem is léteznek. Az összes halmazok halmaza például nem halmaz, tehát fel sem merülhet az az ötlet, hogy önmagának eleme legyen. Igaz, hogy ezt az önmagával szembeni, legújabb kori követelményt a matematikai több ága nem elégíti ki megnyugtatóan. A XX. századi axiomatikus halmazelmélet további izgató problémaköre a kiválasztási axióma és a kontinuumhipotézis köré csoportosul. Sokan úgy vélték, hogy a kiválasztási axióma új kellemetlenségek forrásává válhat. 1938-ban Gödel bebizonyította (a modellelmélet segítségével), hogy ha a halmazelmélet axiómarendszere a kiválasztási axióma nélkül (maradék-axiómarendszer) ellentmondás nélküli, akkor az marad a kiválasztási axiómával bővített rendszer is. Kimutatta továbbá, hogy szinte ellentmondástalan marad a rendszer, ha axiómaként hozzácsatoljuk a kontinuumhipotézist. Ebből viszont következik, hogy ha a halmazelmélet axiómarendszere nem tartalmaz ellentmondást, akkor benne a kontinuumhipotézis nem cáfolható.

A kontinuumhipotézis ezek szerint vagy bizonyítható, vagy eldönthetetlen. 1963-ban Paul Cohen amerikai matematikus, a Fields-érem tulajdonosa, bebizonyította (ugyancsak a modellelmélet segítségével), hogy a kiválasztási axióma független a maradék- axiómarendszertől, tehát abban nem bizonyítható, de nem is cáfolható. Bizonyította továbbá azt is, hogy a kontinuumhipotézis a halmazelmélet teljes axiómarendszerében eldönthetetlen: nem igazolható és nem is cáfolható.

Ezen eredmények alapján úgy látjuk, hogy a kontinuumhipotézisnek olyan szerepe van a halmazelméleti axiómarendszerben, mint a párhuzamossági axiómák az euklideszi axiómák rendszerében. A Zermelo-Fraenkel-axiómarendszer meghatároz egy bizonyos halmazelméletet, ugyanúgy a Neumann-Bernays-féle is. Ez a halmazelmélet kétfelé ágazik aszerint, hogy axiómaként a kontinuumhipotézist csatoljuk hozzá, vagy pedig a kontinuumhipotézis tagadását. A kontinuumhipotézis körüli vélemények azonban még ma sem egyöntetűek. A matematikusok egy része úgy gondolja, hogy megadható a halmazelmélet olyan axiómarendszere, amely elkerüli az ellentmondásokat, és ugyanakkor benne a kontinuumhipotézis vagy bizonyítható, vagy cáfolható. Ez az axiómarendszer azonban még nem született meg.

Cantor észrevette, hogy a valós számok halmaza nem megszámlálható, sőt a valós számoknak a 0 és 1 közé elő részhalmaza sem. A 0 és 1 közötti valós számokat ugyanis igyekezett sorozatba rendezni, és kimutatta, hogy ez lehetetlen. Az említett valós számok mindegyikét végtelen tizedes tört alakba írva, az elképzelt sorozat egymás utáni elemei így sorakoznának:

a₁=0,a^₁1a₁²a₁³a₁⁴…a₂=0,a₂¹a₂²a₂³a₂⁴…a₃=0,a₃¹a₃²a₃³a₃⁴……

Az a_i^k jelenti a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyek valamelyikét. Ez az összeállítás egyértelmű, ha nem vesszük figyelembe azokat a végtelen tizedes törteket, amelyekben valamely helytől kezdve végig 0 szerepel. Így például a 0,10˙ és a 0,09˙ egyenlő számok közül csak az utóbbi fog szerepelni, tehát a (0,1] intervallum minden száma csak egyszer fordul elő a felsorolásban. Kérdés azonban, hogy valóban előfordul-e mindegyik? Cantor kimutatta, hogy nem. Található ugyanis olyan valós szám, amely e felírásban nem szerepel. Ilyen például a b=0,b₁b₂b₃b₄… végtelen tizedes tört, ha b_k=1 , amikor a_k^k=9 , és b_k=a_k^k+1 , amikor a_k^k≠9 . Az így felírt b számra igaz, hogy 0<b≤1 de különbözni fog minden a_k valós számtól, hiszen az átlóban elhelyezkedő k-adik tizedes jegyükben eltérnek egymástól. A valós számok halmaza tehát nem megszámlálhatóan végtelen, viszont az összes racionális számból álló részhalmaza megszámlálhatóan végtelen. A valós számok halmazának számosságát Cantor kontinuumszámosságnak nevezte, mert e halmaz elemei kölcsönös és egyértelmű kapcsolatba hozhatók egy folytonos vonal pontjaival (számegyenes). A valós számhalmaz és a természetes számok halmazának számossága tehát különböző. A következő kérdés az volt, hogy e két különböző számosságot meg lehet-e nagyság szerint különböztetni. Cantor erre a kérdésre igennel felelt a következő definíció megfogalmazásával: A H halmaz számossága nagyobb a K halmaz számosságánál, ha H-nak létezik a K-val ekvivalens részhalmaza, de H nem ekvivalens K-val. Eszerint a kontinuumszámosság nagyobb a megszámlálhatóan végtelen halmazok számosságánál.

Cantor és utána sokan mások is azt tapasztalták, hogy a valós számok halmazának egy nem megszámlálhatóan végtelen részhalmaza mindig kontinuumszámosságú. E tapasztalatok alapján Cantor megfogalmazta az ún. kontinuumhipotézist, amely azt állítja, hogy nincs olyan halmaz, amelynek számossága nagyobb volna a megszámlálhatóan végtelen halmazok számosságánál, de kisebb lenne a kontinuumszámosságnál. Cantor a halmazok számosságát a héber א (alef) betűvel jelölte. א 0 a jele a legkisebb számosságnak, a megszámlálható halmazok számosságának. Cantor sok más számhalmaz számosságáról is kimutatta, hogy azok nagyobbak א 0 -nál

Van-e a kontinuum-számosságnál nagyobb számosság? Cantor erre a kérdésre igennel felelt. Kimutatta, hogy valamely halmaz számosságánál nagyobb számosságú a halmaz hatványhalmaz, azaz az összes részhalmazából alkotott halmaz. Hozzuk közelebb ezt a fogalmat egy konkrét példával. Rendre növelve a halmazok elemeinek a számát, írjuk az első oszlopba magát a halmazt ( H_n ) , és vele egy sorba, a második oszlopba pedig a részhalmazok halmazát, a hatványhalmazt ( H_nh ) . Az üres halmaz (Ø) minden halmaz részhalmaza, és minden halmaz önmagának is részhalmaza lévén:

H₀=ØH_0h={Ø}H₁={1}H_1h={Ø,{1}}H₂={1,2}H_2h={Ø,{1},{2},{1,2}}H₃={1,2,3}H_3h={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}……

A felsorolás mutatja, és teljes indukcióval igazolható, hogy az n elemű H_n halmaz H_nh hatványhalmazának 2n eleme van, és így jogos a hatványhalmaz elnevezése. Véges halmazok esetén nyilvánvaló, hogy hatványhalmazuk számossága nagyobb az alaphalmazénál. Ez azonban igazolható végtelen halmazokra is, ami viszont azt jelenti, hogy minden halmaz számosságánál van nagyobb számosság, azaz nincs legnagyobb számosság. Valamely halmaz számosságát szokás a halmaz kardinális számának is nevezni. A véges halmazoknál, ahol egybeesik az elemek számával, a kardinális szám természetes szám. A végtelen halmazok összehasonlításának eredményeként láttuk, hogy bizonyos értelemben az egyiknek több eleme van, mint a másiknak. Pontosabban: Cantor a végtelen halmazok mindegyikéhez is hozzárendelte a számosságnak nevezett fogalmat úgy, hogy azt az ekvivalens halmazoknál ugyanannak, a nem ekvivalens halmazoknál pedig különbözőeknek vette. Amint láttuk, a számosságok halmazán is lehet definiálni a természetes számokra értelmezett "kisebb" relációt, és sikerült bizonyítani a "kisebb" reláció minden jellemző tulajdonságát, kivéve az ún. trichotómiát, amely az a és b két tetszőleges természetes szám esetében úgy szól, hogy az a = b, az a<b és a > b három lehetőség közül az egyik és csak az egyik mindig teljesül. Ha pedig a trichotómia a kardinális számokra nem volna érvényes, akkor léteznék legalább két halmaz, amelyekről nem lehetne eldönteni, hogy számosságuk egyenlő-e, vagy az egyiké nagyobb, esetleg kisebb a másikénál.