A HINDU MATEMATIKA

Az indiai kultúra igen változatos, megsemmisülésekkel és újjászületésekkel teletűzdelt történelmi körülmények közt fejlődött, és ez megmutatkozik az ókori és a középkori hindu matematika történetében is. Csillogó eredmények váltakoznak sikertelen korszakokkal, sőt még az egyes matematikusok munkájában is jól megférnek egymás mellett a nagyszerű új felismerések és a nyilvánvaló tévedések. Számtalan külső hatás irányította India matematikáját. Sokat köszönhet a babiloni, a kínai és a görög matematikának. A szomszédok ismeretei azonban sohasem fedték el a hindu szellem eredetiségét és formálóerejét.

Mint annyiszor, most is, az első ismert indiai könyv, amely matematikai vonatkozásokat tartalmaz, vallási könyv: a Szulvaszutra. A szulva vagy szulba szó mérőzsinórt, a szutra pedig olyan művet jelent, amely szabályokat, szertartásokat, életviteli előírásokat, vallási tanításokat örökít meg. A cím tehát azt fejezi ki, hogy a könyvben a vallási élettel összefüggő ismeretek olvashatók, amelyekhez azonban mérőzsinór is szükséges, azaz a templomépítéssel, a templom berendezésével kapcsolatos geometriai ismereteket tárgyal. A Szulvaszutra három változata közül legismertebb az, amelyet egy Ápasztamba nevű bölcs írt. A könyvek az i. e. VI-V. század táján keletkeztek, tehát Püthagorasz, illetve Mahávíra és Buddha idejében. Az Ápasztamba-féle Szulvaszutra ismerteti a derékszög kijelölésére alkalmas kötélhosszakat, amelyek derékszögű háromszöget fognak körül. Itt felsorolja a 3, 4, 5, az 5, 12, 13, a 8, 15, 17 és a 12, 35, 37 pitagoraszi számhármasokat. A Pitagorasz-tétel geometriai megfogalmazása valószínűleg Mezopotámiából származik

Matematikatörténeti szempontból fontos könyvek a Sziddhánták. A "sziddhánta" szó rendszert jelent, mégpedig csillagászati vonatkozásban. Az öt Sziddhánta (Szúrja Sziddhánta, Paulisa Sziddhánta, Vasziszista Sziddhánta, Pajtamáha Sziddhánta és Romanka Sziddhánta) az i. sz. III-V. században keletkezett csillagászati művek. Ezek között időrendben az első a Szúrja Sziddhánta (A Nap rendszere), amelyet a hagyományok szerint maga Szúrja, a napisten írt. Az öt közül teljes egészében csak a Paulisa Sziddhánta maradt meg. Ennek szerzője Varáha-Mihira (505 körül). A mű annyira görög hatást mutat, hogy Al-Birúni arab matematikus véleménye szerint a szerzője is egy alexandriai görög csillagász lehetett. Kétségkívül sok részlete emlékeztet Ptolemaiosz Almagesztjének csillagászati és trigonometriai fejezeteire. Biztosra vehetjük, hogy a Sziddhánták nem eredeti hindu művek. Anyaguk tekintélyes része Mezopotámiából, Görögországból, esetleg Kínából származik. Ne gondoljunk azonban teljesen szolgai átvételre. A hinduk sokat fejlesztettek, módosítottak az importált ismereteken. Erre meggyőző példával szolgál éppen a Szúrja Sziddhánta, amely először beszél a szinusz szögfüggvényről a mai értelemben. Még Ptolemaiosznál is a szinusztáblázatot joggal nevezhetjük húrtáblázatnak, hiszen abból a kör középponti szögeihez tartozó húrhosszak olvashatók ki. A Szúrja Sziddhánta húrtáblázata azonban már a mai értelemben is szinusztáblázat. Ez a középponti szög feléhez rendeli hozzá a középponti szög húrjának a felét. A szinusz szó maga is a hindu "jiva" = húr szó hibás fordításából ered. Az arab fordító ezt a szót "jibá"-nak vette át. Az arab írás azonban a magánhangzókat nem tünteti fel, tehát a jiba szót csak "jb"-nek írja. Az arabról latinra fordító Robert Chester a jb-t jaib-nak olvasta jiba helyett. Az arab jaib szó pedig azt jelenti,hogy öböl, és ezt Chester a latin szinusz szóval fordította, amelynek jelentése öböl, öl. Így történhetett, hogy a magyarosítás korában a szinusz szóból kebel lett, a cosinusból pótkebel és az arccosból visszáspótkebel. Ma már a szinusz szó matematikai szakkifejezés, amelyről a matematikusok zöme tudni véli, hogy húrt jelent.

Az indiai földön jó talajra találtak a beszivárgott matematikai ismeretek. Az V. és VI. században már Indiának is megvoltak a maga matematikusai, de az óriási területen elszórva, egymástól elszigetelten dolgoztak. Mégis, a hindu matematikának is alakult ki valamelyes központja, kettő is. Az egyik Közép-Indiában Udzsain, a másik Dél-Indiában Majszur.

ÁRJABHATTA (476-550?)

Neves indiai matematikus és csillagász. Kuszumapurában született, az akkori nagy tudományos központban. Sajnos ugyancsak Észak-Kelet-Indiában és ugyanazon évtizedekben két Árjabhatta élt, és nem tudjuk, hogy a kettő közül melyik írta a 499-ben elkészült Árjabhatija nevű könyvecskét. Ebben a szanszkrit nyelvű csillagászati és matematikai munkában a könyv születésének a dátumát a szerző jelölte meg, és azt is, hogy 33 éves korában írta. E szerint Árjabhatta 476-ban született. A könyvecske, amint ezt az akkori hindu hagyományok megkövetelték, verses formában foglalta össze az akkori csillagászati és matematikai ismereteket. Terjedelme 123 stanza. Ez ugyanaz a versforma, amelyben Arany János írta a Bolond Istókot, azaz abababcc rímképletű; nyolcsoros versszak. Az Árjabhatiját némelyek Eukleidész Sztoikheiájához szokták hasonlítani. A hasonlóság alapja azonban csupán annyi, hogy mindkettő összefoglaló mű. A Sztoikheia kimondottan matematikai tartalmú és igen szigorú rendszerességgel, jó pedagógiai érzékkel felépített könyv. Ez az Árjabhatijáról nem mondható el. A hindu műnek csak mintegy harmadrésze matematika, és a Sztoikheiához viszonyított rendszertelensége mellett még sok hibás állítást is tartalmaz. A könyv matematikai fejezete a hatványfogalommal kezdődik. Felsorolja 10 hatványait 1010 -ig. Ezután ismerteti a négyzetgyök- és a köbgyökvonást, majd terület- és térfogatszámítási feladatok következnek. A háromszög területét helyesen számolja ki, de a piramis térfogatát a háromszögtől vett helytelen analógiával úgy határozza meg, hogy az alapterületet megszorozza a magasság felével. A kör területéhez úgy jut el, hogy a kerületet szorozza a fél sugárral. Ez jó, de már a gömb térfogatát úgy számítja, hogy a gömbi főkör területét megszorozza a négyzetgyökével, ami pedig rossz. A jó és rossz eredmények e párhuzamát találhatjuk a négyszögek területszámításánál is. Egymás mellett sorakoznak az Árjabhatija matematikai felében a helyes és a helytelen állítások. A könyv kiegészül a bolygórendszer ismertetése mellett az időszámítással és más, a csillagászathoz szükséges számítási eljárásokkal.

BRAHMAGUPTA (598-660)

Árjabhatta után mintegy száz évvel Brahmagupta volt India legkiválóbb matematikusa. A közép-indiai Udzsainban élt és dolgozott. Ő is verses formában írta meg nagy, 20 kötetes művét a Brahmasphuta Sziddhántát, amit Brahma tökéletes rendszerének lehetne fordítani. E 20 kötetből 12-ben aritmetikát és geometriát tárgyal. Kiemelendő, hogy elsőként ismertette részletesen az előjeles számok műveleti szabályait. A pozitív számokat vagyonnak, a negatívokat pedig adósságnak tekintette. Ezzel a felfogással szemléletesen fogalmazta.meg a négy alapművelet előjelszabályait. Elsőként tekintette a nullát is számnak, és megkísérelte tisztázni a zérussal végzett műveleteket. Ő sem tudott azonban megszabadulni a hindu matematika átkától, ő is keverte a jót a rosszal. Azt állította, hogy 0 : 0 = 0, és hogy "Pozitív vagy negatív osztva zérussal, olyan tört, amelynek a nevezője nulla". Brahmagupta is, mint a hindu matematikusok általában, kedvelte a határozatlan egyenleteket. Az ax + by = c alakú lineáris diophantoszi egyenlettel már Árjabhatta is foglalkozott, de az általános megoldás először Brahmaguptánál található. Biztos, hogy a határozatlan egyenletekkel a görögök ismertették meg a hindukat, de még Diophantosz sem dolgozta ki általános elméletüket. Elfogadta a negatív megoldásokat is. Azt is tudta, hogy az ax + by = c diophantoszi egyenletnek mindig van megoldása, ha a és b relatív prímek, sőt a megoldások x = p + nb, y = q-na formuláit is ismerte.

Foglalkozott még az y²=ax²+1 alakú, másodfokú diophantoszi egyenlettel is, amit tévesen Pell-féle egyenletnek szokás nevezni. Ezzel azonban csak néhány száz évvel később, kitűnő honfitársa, Ácsárja Bhászkara tudott boldogulni. Brahmaguptáról érdemes még megjegyezni, hogy az aritmetikai műveletekre már külön jelölései voltak. Az összeadást egyszerűen egymás mellé írással jelölte. A kivonásnál is ezt az elhelyezést használta, de a kivonandó fölé pontot tett. Az osztás osztóját az osztandó alá írta, de törtvonal nélkül. A szorzás, a gyökvonás és az ismeretlen jelölésére a megfelelő szó rövidítését használta. Brahmagupta geometriájában megkülönböztette a közelítő és a pontos eredményre vezető eljárásokat. Az egyenlő szárú háromszög területét úgy számította ki, hogy az alap felét megszorozta a szár hosszával; az általános háromszög területét pedig úgy, hogy az egyik oldal felét szorozta a másik két oldal számtani közepével. Ha viszont pontosan akart számolni, akkor a Hérón-féle formulát használta. A háromszög köré írható r sugarú körben ismerte az a = 2r sin α összefüggést, ahol a a háromszög egyik oldala és α az ezzel szembeni szög. Nevezetes eredménye a Hérón-formula általánosítása négyszög esetére. Foglalkozott a pitagoraszi számhármasok előállításával is. A racionális mérőszámú oldalakkal rendelkező derékszögű háromszög meghatározására az

a=pb=p²−q²2qc=p²+q²2q

képleteket használta. Itt is megpróbálkozott az általánosítással, amikor is olyan négyszögeket keresett, amelyeknek oldalait, átlóit és területét racionális szám méri.