A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria hatása alatt megindult axiómarendszer-vizsgálat során arra a kérdésre keresték a feleletet, hogy milyen feltételeknek kell megfelelnie egy “tökéletes” axiómarendszernek. Azt már régen látták a matematikusok, hogy Eukleidész axiómarendszere hiányos, és nem is szabatos. A kritika valóban jogos volt, de ennek ellenére mintegy kétezer éven át nem tudtak helyette lényegesen jobbat megfogalmazni. Valószínűleg azért, mert nem ez volt a matematika központi kérdése. Csupán egy-egy szakterületen bővítették esetenként az euklideszi axiómarendszert, vagy igazítottak annak egyik-másik axiómáján. A nemeuklideszi geometriák felfedezése azonban az axiómarendszer átfogó vizsgálatát központi kérdéssé tette. Ez érthető, hiszen kiderült, hogy egy sérthetetlennek hitt axióma tagadásával is lehet ellentmondásmentes geometriát felépíteni. A kérdés tehát az, hogy mikor tökéletes egy axiómarendszer?

Az axiómarendszerek általános vizsgálatában kiemelkedően három nevet kell említenünk: Pasch, Peano és Hilbert nevét.

Giuseppe Peano (1858-1932) nevét viselik a természetes számokra vonatkozó, az aritmetika axiomatikus alapjait képező Peano-féle axiómák. Három olyan fogalmat választott ki, amelyeket nem definiált (primitív fogalmak): a nulla, a nem negatív egész szám és az “azt követő” fogalmakat. Így a szimbólumokkal is leírható - és ez Peanonál lényeges szempont - Peano-féle öt axióma a következő: 1. A nulla szám. 2. Ha a szám, akkor az azt követő is szám. 3. A nulla nem követi egyik számot sem. 4. Ha két szám ugyanazt a számot követi, akkor azok egyenlők. 5. Ha az S halmaz tartalmazza a nullát és az S minden számának a következőjét, akkor minden szám az S-ben van.

A legszigorúbb és a mai követelményeknek is megfelelő axiómarendszer megfogalmazása David Hilbert (1862-1943) kiváló német matematikus érdeme. Hilbert 1900-ban a párizsi nemzetközi matematikai kongresszuson a matematika egész területéről 23 fontos megoldatlan problémát sorolt elő, amelyek megválaszolása nagyban elősegítené a matematika további fejlődését. Ezekből ízelítőül megemlítek néhányat.

Az első feladat: Tisztázandó a valós számok kontinuumának a szerkezete. Ezen belül kérdés, hogy van-e transzfinit szám a megszámlálható halmazok és a kontinuumszámosság között? A számok kontinuuma tekinthető-e jól rendezett halmaznak? A második kérdés úgy is feltehető, hogy az összes valós szám elrendezhető-e egy másik halmazban olyképpen, hogy annak minden részhalmazában legyen első elem? E kérdés az Ernst Zermelo (1871-1953) német matematikus által 1904-ben megfogalmazott kiválasztási axiómához kapcsolódik. Ez azt állítja, hogy ha adott valamely egymást kölcsönösen kizáró (diszjunkt) nem üres halmazok halmaza, akkor létezik legalább egy halmaz, amely tartalmaz egy és csak egy olyan elemet, amely mindegyik nem üres halmazzal közös. Az analízisben szükséges kiválasztási axiómáról 1940-ben Kurt Gödel (1906-1978) osztrák matematikus kimutatta, hogy más axiómáknak nem mond ellent. 1963-ban viszont Paul Cohen igazolta, hogy a kiválasztási axióma a halmazelmélet egy bizonyos rendszerén belül független a többi axiómától, eszerint a rendszeren belül nem is bizonyítható. Úgy tűnik tehát, hogy a Hilbert-féle első kérdésre nem is lehet kielégítő választ adni.

Hilbert második kérdése, hogy az aritmetikai axiómák ellentmondásmentesek-e. A kérdést, ha nem is válaszolták meg, de igen alaposan megvizsgálták Bertrand Russel (1872-1970) és Alfred North Whitehead (1861-1947) angol matematikusok. Az erről szóló tanulmányukat tartalmazza az 1910-1913-ban megjelent Principia Mathematica (A matematika alapelvei) című háromkötetes közös könyvük. A Leibniz szellemében megírt és a Peano axiómáira támaszkodó mű megállapítja, hogy a matematika minden tétele néhány alapvető logikai elvre épült. Ebben kifejezésre jut Russell azon véleménye, hogy a matematika és a logika elválaszthatatlanul kapcsolódnak

1931-ben meglepő választ nyert Hilbert második kérdése. Ismét az Ausztriából az Egyesült Államokba vándorolt Kurt Gödel segített a probléma tisztázásában. Amire ezzel kapcsolatba rájött, az kiábrándító. Bebizonyította ugyanis, hogy minden olyan mereven megszabott axiómarendszeren belül, mint például a Peano-féle, léteznek olyan állítások, amelyek nem eldönthetőek, azaz amelyeknek bizonyítása is, cáfolása is reménytelen. E Gödel-tétel szerint nem bizonyítható az aritmetikai axiómarendszer ellentmondás-mentessége. Hilbert Eukleidész axiómái és posztulátumai helyett 21 követelményt állított fel. Magyarázatra, definiálásra nem szoruló alapfogalmai: a pont, az egyenes és a sík. Néhány reláció (rajta van, közte van, benne van, egybevágó stb.) szintén nem szorul meghatározásra. Axióma és posztulátum között nem tett különbséget. 21 axiómája így csoportosítható: az illeszkedés 8 axiómája, a rendezés 4 axiómája, az egybevágóság 5 axiómája, a folytonosság 3 axiómája és a párhuzamosság axiómája. Hilbert a geometria axiómarendszerére három kívánalmat fogalmazott meg: legyen az axiómarendszer ellentmondásmentes, legyen teljes és legyenek az axiómák egymástól függetlenek.

Az ellentmondás-mentesség belátható az axiómarendszer modellezésével, mint ahogy ezt a Bolyai-geometria és a Klein-Cayley-modell esetében láttuk. Valamely axióma független a többitől, ha annak tagadásához hozzácsatolva a változatlan többit, ellentmondásmentes új axiómarendszert kapunk. Teljes az axiómarendszer, ha minden, a tárgykörhöz tartozó tételnek logikai alapja benne megtalálható.

Hilbert nagyon fontosnak tartotta nemcsak a geometriának, hanem az egész matematikának az axiomatikus megalapozását. Ennek megvalósítására csak Gödel és Tarski 1930 körüli munkássága után kerülhetett sor.

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN. 1854-ben magántanár lett a göttingeni egyetemen. Ekkor olvasta fel értekezését Über die Hypothesen welche der Geometrie zugrunde liegen (A geometria alapjait képező hipotézisekről) címmel.

A teret nagyon általánosan tetszőleges dimenziójú topológiai halmazként értelmezte. Egy geometriát meghatároz az abban szereplő elemek halmaza; ezen elemek helyének (koordinátáinak) ismerete; és az az eljárás, amellyel meg lehet mérni két végtelen közeli elem távolságát. Ez az utóbbi feltétel elárulja, hogy Riemann visszatért a geometria meghatározásánál a Gauss-féle ívelemhez, illetve azt általánosította. A szferikus geometria többféle szempontból is figyelemre méltó. Egyrészt igen szemléletesen bemutatható rajta a Gauss-koordináták kezelése, másrészt igen közeli példa a nemeuklideszi geometriára, továbbá még a hiperbolikus geometria íveleme is megkapható belőle.

Riemann a Gauss-féle ívelemre alapozott geometriában azt hangsúlyozta, hogy az ívelem, illetve a távolságmeghatározás egy másodfokú algebrai formával történik. Sok olyan másodfokú alak van azonban, amely a távolságfogalom iránti követelményeknek megfelel. Riemann tehát Gauss távolságmeghatározását, metrikáját általánosította úgy, hogy például egy háromdimenziós térre:

(dx)²=g_1¹(dx)²+g_1²dxdy+g_1³dxdz++g_2¹dydx+g_2²(dy)²+g_2³dydz++g_3¹dzdx+g_3²dzdy+g_3³(dz)²

legyen, ahol még azt sem kötötte ki, hogy a g-ik együtthatók állandók legyenek. Csak annyit szabott meg, hogy ezek az együtthatók az x, y és z olyan folytonos függvényei legyenek, amelyek kétszer differenciálhatók. Rögtön látszik, hogy ha g₁¹=g₂²=g₃³=1 és g₁²=g₁³=g₂¹=g₂³=g₃¹=g₃²=0 , akkor a definíció átmegy a (ds)²=(dx)²+(dy)²+(dz)² távolságképletbe, ami pedig az euklideszi geometria alapja. Ez a specializálás azt is elárulja, hogy Riemann az egymáshoz végtelen közeli pontokra nézve feltételezte a tér euklideszi voltát, de ezt a térnek csak infinitezimálisan kicsiny részére kötötte ki. A változók száma tetszés szerint növelhető, azaz a meghatározás tetszőleges dimenziójú térre alkalmazható. Teljes általánosságban tehát az n-dimenziós tér esetén a tér íveleme:

(ds)²=∑i=1k=1g_i^kdx_idx^k

ahol g_i^k az x_i , x_k változók folytonos, kétszer differenciálható függvénye. Általában tehát a Riemann-terek nem állandó görbületű terek, hiszen a g_i^k együtthatók a hely függvényeként pontról pontra változhatnak.