A számrendszerek bevezetése

Kis számoknál elegendő volt számlálni, felsorolni a számneveket. Nagyobb mennyiség esetén csoportosítás segíthet abban, hogy áttekintsük a mennyiséget, azaz a megszámolni valókat csoportokba soroljuk. Csoportosíthatunk például ötösével. Ha sok ilyenhez jutunk, akkor még azokat is újabb csoportokba soroljuk. Kézenfekvő, hogy az újabb csoportosítás is ugyanilyen legyen, azaz ha öt tárgy képez egy csoportot, akkor öt csoportból képezzünk egy nagyobbat. (Az ábra 38 tárgy esetén mutatja a megfelelő csoportosítást.) Ha szükséges, akkor ezt folytathatjuk tovább. Ezt a csoportosítást nevezzük számrendszernek.

Ha ötösével csoportosítottunk, és az egyes csoportok számát fel akarjuk jegyezni, akkor ötféle jel, 5 db számjegy kell.

Ha törteket szeretnénk felírni, akkor természetesen negatív egész kitevőket is használunk.

Például: 21,3₄ = 2 · 4¹ + 1 · 4⁰ + 3 · 4^-1 = 9,75₁₀.

Számrendszer alapszáma bármely 1-nél nagyobb egész szám lehet. A számok a alapú számrendszerben való felírásához a db számjegy kell, ezekből egy a 0. Ha az alapszám 10 vagy annál kisebb, akkor a tízes számrendszer számjegyeiből annyit választunk ki, amennyire szükségünk van. Ha 10-nél nagyobb alapszámunk van, akkor a megszokott számjegyeken túl újakra is szükségünk van.

Feladat: 5-ös számrendszer

6. példa: Írjuk fel ötös alapú számrendszerben a 694-et!

Megoldás: 5-ös számrendszer

Csoportosítsuk ötösével:

694 = 5 · 138 + 4;

ez 138 db ötös csoport és marad 4 db egyes.

138 = 5 · 27 + 3;

ez 27 db ötször-ötös csoport és marad 3 db ötös.

27 = 5 · 5 + 2;

ez 5 db ötször-ötször-ötös csoport és marad 2 db ötször-ötös.

5 = 5 · 1 + 0;

ez 1 db ötször-ötször-ötször-ötös csoport és nem marad ötször-ötször-ötös.

Formálisan még egy lépéssel tovább mehetünk:

1 = 5 · 0 + 1;

maradékul kaptuk az 1 db ötször-ötször-ötször-ötször-ötös csoportot.

A maradékul kapott számok megadják a keresett szám ötös alapú számrendszerbeli számjegyeit. Megállapodunk abban, hogy a maradékokat egymás mellé írjuk, azok balról jobbra haladva jelentenek egyeseket, ötösöket, ötször-ötösöket, ... stb. Így megkaptuk a 694 kért alakját. Alsó indexben jelezzük a csoportosítás alapszámát: 10 234₅.

A felírást az egész kitevőjű hatványok használatával világosabbá tehetjük.

Például: 10 234₅ = 1 · 5⁴ + 0 · 5³ + 2 · 5² + 3 · 5¹ + 4 · 5⁰,

452₁₀ = 4 · 10² + 5 · 10¹ + 2 · 10⁰.

Feladat: 12-es számrendszer

7. példa: Írjuk fel 1848-at 12-es számrendszerben!

Megoldás:12-es számrendszer

A számjegyek: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ; ( 10; 11).

1848 = 12 · 154 + 0;

154 = 12 · 12 + 10;

12 = 12 · 1 + 0;

1 = 12 · 0 + 1,

0₁₂.