Mintafeladat: Milyen hosszúak az 5 cm oldalélű kocka lapátlói? Mekkora szöget zár be két, egy csúcsból induló lapátló?

Megoldás: Tekintsük az ABCDEFGH kocka B csúcsból kiinduló BE és BG lapátlóit. (A kocka ABCD lapjára merőlegesek az AE, BF, CG, DH oldalélek.) A két szakasz egyforma hosszú; pl. az EAB derékszögű háromszögben Pitagorasz tételét felírva BE² = BA² + AE², s innen BE = ≈ 7,07 (cm).

A két lapátló hajlásszögét legkönnyebben úgy állapíthatjuk meg, hogy behúzzuk az EG élt is. Ekkor a keletkezett EBG háromszög egyenlő oldalú, vagyis EB és BG hajlásszöge 60°.

A Pitagorasz-tételt akkor is alkalmazhatjuk, ha a derékszögű háromszög a tér valamelyik síkjában helyezkedik el. Ekkor általában az a feladatunk, hogy felismerjük az alkalmas síkmetszetet. Ezt a síkmetszetet - esetleg külön kirajzolva a papírunkra - már önállóan, a térből kiragadva, a hagyományos síkgeometriai eszközökkel vizsgálhatjuk.

Mintafeladat: Határozzuk meg az 5 cm élű kocka testátlójának a hosszát!

Megoldás: Az ABCDEFGH kocka (az ABCD lapra merőlegesek az AE, BF, CG, DH élek) BH testátlójának a hosszát a BHD derékszögű háromszög segítségével határozhatjuk meg. BD az ABCD négyzet átlója, így BD = . DH = 5, így BH² = DH² + BD² = 25 + 50 = 75, s innen BH = ≈ 8,66 (cm).

A testátló hosszát paraméteresen is meghatározhatjuk: ha a kocka éle a hosszúságú, akkor BH² = a² + 2a² = 3a², s innen BH = ≈ 1,73a. (cm).

Hogyan határozhatjuk meg egy téglatest testátlójának a hosszát?
Ha egy téglatest egy csúcsából kiinduló oldalélei rendre a, b, c hosszúak, akkor az a, b élű alaplapjának az átlója . Az erre merőleges c él már meghatározza a testátlót, melynek hossza így: .

Az a, b, c oldalélű téglatest testátlójának a hosszára kapott formula emlékeztet a síkbeli Pitagorasz-tételre. Az analógiát megtartva az összefüggést térbeli Pitagorasz-tételnek nevezzük.