Ha ismerjük a számoknak egy adott alapú logaritmusát, akkor azok segítségével egy szám valamely más alapú logaritmusát is kiszámíthatjuk. Röviden ezt úgy mondjuk, hogy áttérhetünk más alapú logaritmusra. Valamely szám új alapú logaritmusát úgy kapjuk, hogy a régi alapú logaritmusát elosztjuk az új alap régi alapú logaritmusával, vagyis

Biztos eseménynek nevezzük az olyan eseményt, amely biztosan bekövetkezik. A biztos esemény valószínűsége 1. Például: Szabályos hatoldalú kocka feldobásakor legyen A az az esemény, hogy 10-nél kisebb számot dobunk. Ez biztosan bekövetkezik, s így P(A) = = 1.

Egy egyenest megadhatunk egy pontjával és irányszögével. Az irányszög a x tengellyel bezárt szöget jelenti.

Adott az e egyenes P₀(x₀; y₀) pontja és m iránytangense. Ekkor az e egy normálvektora(m; -1). Ezt behelyettesítve a normálvektoros alakba kapjuk, hogy : mx – y = mx₀ – y₀, amiből átrendezéssel: y – y₀ = m(x – x₀). Ez az m iránytangensével és P0(x₀; y₀) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének iránytényezős alakja.

Egyenes egyenlete fölríható például egy pontjának és egy normálvektorának koordinátái segítségével. Legyen az egyenesre illeszkedő pont P₀(x₀; y₀), n(A; B) pedig az egyenes egy normálvektora. Ekkor az egyenes egyenlete Ax + By = Ax₀ + By₀.

A koordinátasíkon egy egyenes helyzetét egyértelmű módon meghatározza: egy pontja és egy normálvektora, egy pontja és egy irányvektora, egy pontja és egy irányszöge, egy pontja és az iránytangense (ha létezik iránytangense).

Adott az egyenes P₀(x₀; y₀) pontjának r₀(x₀; y₀) helyvektora és n(A; B) normálvektora. Az egyenes egy tetszőleges P(x; y) pontjának helyvektora r(x; y). Ekkor = r – r0 vektor az egyenes egy irányvektora. Mivel az egyenes n normálvektora és irányvektora egymásra merőlegesek, ezért skaláris szorzatuk n(r – r0) = 0. Ezt az egyenes vektoregynletének nevezzük.

Két egyenes párhuzamos, ha normálvektoraik párhuzamosak, irányvektoraik párhuzamosak, meredekségük egyenlő vagy nem értelmezhető.

Egy gráfot egyszerűnek nevezünk, ha nincs benne sem hurok- sem párhuzamos él.

Azon síkbeli pontok halmazát, amelyek két adott ponttól mért távolságuk összege állandó, és ez az állandó nagyobb a két pont távolságánál, ellipszisnek nevezzük.

Azon síkbeli pontok halmazát, amelyek két adott ponttól mért távolságuk összege állandó, és ez az állandó nagyobb a két pont távolságánál, ellipszisnek nevezzük. A két pontot az ellipszis fókuszontjának (vagy gyújtópontjának) hívjuk.

Az ellipszis nagytengelyének felezőmerőlegese az ellipszis másik szimmetriatengelye. Az ellipszis ebből kimetszi a CD szakaszt, ezt az ellipszis kistengelyének nevezzük.

Ha több erő hat egy testre, akkor helyettesíthető egy eredő erővel. Az eredő erő hajlásszögét szögfügevények segítségével tudjuk kiszámolni.

Egyenletek megoldásában nagy szerep van az egyenlet két oldalán álló függvény értékkészlete vizsgálatának, hiszen a két értékkészlet metszete adja az egyenlet megoldásainak alaphalmazát, ami azt jelenti, hogy a megoldhatóság szükséges feltétele, hogy ez a halmaz ne kegyen üres. Például a egyenlet megoldása előtt az értékkészlet vizsgálatakor azt tapasztaljuk, hogy az egyenlet bal oldal csak pozitív, míg jobb oldala csak nem pozitív értékeket vehet föl, tehát az egyenletnek nincs megoldása.

Minden A eseményhez rendeljünk hozzá egy valós számot, amelyet az A esemény valószínűségének nevezünk és P(A)-val jelölünk, a következő kikötésekkel: 1. 0 P(A) 1; 2. a biztos esemény valószínűsége 1; 3. ha A esemény és B esemény egymástól független, vagyis A B = , azaz egyszerre nem valósulhat meg, akkor annak a valószínűsége, hogy valamelyik megvalósul P(A B) = P(A) + P(B).

Ha egy gráfnak van Euler-vonala, az azt jelenti, hogy a gráf egyik pontjából kiindulva a ceruza felemelése nélkül megrajzolhatjuk a gráfot úgy, hogy ceruzánkkal minden élen pontosan egyszer haladunk át, és visszatérünk a kiindulópontba.

Ha egy gráfnak van Euler-vonala, az azt jelenti, hogy a gráf egyik pontjából kiindulva a ceruza felemelése nélkül megrajzolhatjuk a gráfot úgy, hogy ceruzánkkal minden élen pontosan egyszer haladunk át, és visszatérünk a kiindulópontba.

Az olyan egyenleteket, ahol az ismeretlen egy hatvány kitevőjében (exponensében) található exponenciális egyenletnek nevezzük. Például 2^3x-1 = 0,5. Exponenciális egyenletek algebrai megoldásánál általában a cél, hogy a hatványozás és gyökvonás azonosságaival az eredeti egyenlete vele ekvivalens olyan egyenletté alakítsuk, ahol az egyenlet két oldalán azonos alapú hatványok szerepelnek. Mivel, az exponenciális függvény szigorúan monoton, a hatványlap ilyenkor elhagyható.

Azokat a függvényeket, amelyeknek hozzárendelési szabálya adott alap változó kitevőjű hatványa, exponenciális függvényeknek nevezzük. Pélrául: y=2^x

Az f(x) =a^x (a > 0 és a 1) exponenciális függvény, ha a > 1 szigorúan monoton növekedő, ha pedig 0 < a < 1, akkor szigorúan monoton csökkenő. Ezt a tulajdonságot használjuk ki elsősorban az exponenciális egyenletek megoldásakor.

Exponenciális függvény racionális számok halmazán általános alakban f(x)=ax , ahol x eleme a racionális számok halmazának. Az alap (a) a>0 és a≠1.

Olyan összefüggő gráf, amelyben nincs kör.

N faktoriálisnak nevezzük , és n!-nel jelöljük az első n pozitív egész szám szorzatát. Így 1! = 1; 2! = ; 3! = .

Azon pontok koordinátái amelyek rajta vannak a félsíkon.

Bármely gráfban a fokszámok összege az élek számának kétszerese, valamint bármely gráfban a páratlan fokszámú pontok száma páros.

A forgatónyomaték vektor mennyiség. A következő összefüggés írja le M=F*r ahol M-forgatónyomaték , F az erő nagysága, r pedig erőkar hossza.

Egy alakzat egy tetszőleges pontját az alakzat futópontjának nevezzük.

Gráfnak nevezzük pontoknak és éleknek egy halmazát, ahol élekre pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy, legfeljebb két pont illeszkedik.

Gráfnak nevezzük pontoknak és éleknek egy halmazát, ahol élekre pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy, legfeljebb két pont illeszkedik. Ha két csúcsot több él is összeköt, akkor ezeket az éleket párhuzamos éleknek nevezzük. Ha egy élnek ugyanaz a kezdő és a végpontja, akkor hurokélnek nevezzük.

Gráfnak nevezzük pontoknak és éleknek egy halmazát, ahol élekre pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy, legfeljebb két pont illeszkedik. A pontokat a gráf pontjainak (vagy szögpontjainak vagy csúcsainak) nevezzük.

Egy adat gyakorisága megmutatja, hogy hányszor fordul elő az összes adat között. Például a 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7 adatsokaságban a 2 és az 5 gyakorisága 3, a3, 4 és 7 gyakorisága 1.

Gyök logaritmusa egyenlő a gyök alatti szám logaritmusának és a gyökkitevőnek a hányadosával, azaz Például .

Rendeljük hozzá minden valós x-hez -et, ha ez utóbbi létezik (páros n-ek esetén csak a nemnegatív számoknak van gyöke), így az n-edik gyök függvényt értelmezzük. A kapott függvény képe páros n-ek esetén egy első síknegyedbeli félparabola, páratlan n-ek esetén az függvény y= x egyenletű negyedfelező egyenesre való tükörképe.

Az függvény tulajdonságai, ha n páros szám. Értelmezési tartománya és értékkészlete is a nemnegatív való számok halmaza. Zérushelye az x = 0-ban-van, ahol egyben a függvény abszolút minimuma is található. Szigorúan monoton növekvő, nem periodikus, nem páros és nem páratlan, alulról korlátos (infimuma: 0), folytonos függvény. Az függvény tulajdonságai, ha n páratlan szám. Értelmezési tartománya és értékkészlete a valós számok halmaza. Zérushelye az x = 0 pontban van. Szigorúan monoton növekvő, szélsőértékkel nem rendelkező, páratlan, nem periodikus, sem alulról sem fölülről nem korlátos, folytonos függvény.

Egy tört logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező (ebben a sorrendben vett) logaritmusának különbségével, azaz

A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást ez a pont a háromszög köré írható körének középpontja, tehát ebből a pontból egy csúcsba húzott szakasz a köré írható kör sugara. A háromszög területe kiszámítható a köré írható kör sugarának segítségével : (ahol T a háromszög területe, R a köré írható kör sugara, a, b és c pedig a háromszög oldalai).

Tüntessük ki a tér egy pontját amit elnevezünk O-nak és origónak fogjuk nevezni. Ekkor a tér tetszőleges A pontjába mutató OA vektort az A pont helyvektorának hívjuk.

A hiperbola azon pontok helye a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától, a hiperbola fókuszpontjaitól (más néven gyújtópontjaitól) vett távolságkülönbsége abszolútértékben – a két pont távolságánál kisebb állandó.

A hiperbola azon pontok helye a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától, a hiperbola fókuszpontjaitól (más néven gyújtópontjaitól) vett távolságkülönbsége abszolútértékben – a két pont távolságánál kisebb állandó. A két adott F₁ és F₂ fókuszpont által meghatározott szakasz felezőpontja a hiperbola középpontja. A fókuszpontok által meghatározott egyenes a hiperbola két ágából kimetszi az A és B pontokat. Az AB szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük. (Szokták még az AB egyenest is a hiperbola valós tengelyének nevezni.)

Egy gráf olyan élét, amelynek végpontjai azonosak, hurokélnek nevezzük.

Kölcsönösen egyértelmű f függvénynél a függvény inverzének nevezzük a függvény megfordítását, azaz azt a függvényt, amely f(x)-hez x-et rendeli. Jele. f*, vagy f^-1; vagy . Ekkor persze kell, hogy legyen. Például az f(x) = log₂ x inverze 2^x. Egy f(x) függvény inverzének képét megkapjuk, ha az f(x) függvény képét az y =x egyenletű negyedfelező egyenesre tükrözzük.

A hatványozás racionálisról irracionális kitevőre történő kiterjesztésekor az alapgondolat az, hogy a valós számok halmazán értelmezett exponenciális függvény szigorúan monoton és folytonos maradjon, így megállapodunk abban, hogy szám olyan legyen, hogy bármely egymáshoz közeli r < < q ott .

Az n elemű halmaz k elemű részhalmazait az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak nevezzük. Ezek jelölése: . N elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma : . Például 8 sportoló közül az edző 3-at küld versenyre. A 8 ember közül összesen féle képen választhatja ki a három embert.

Az n-elemű H halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az elemek egy sorozatát értjük, amelyben minden elem pontosan egyszer szerepel. P_n=n! ahol n-elem ismétlés nélküli permutációnak száma P_n.

Ha (n N+) k-Ad osztályú (k n) kombinációit úgy képezzük, hogy a k számú elem között az n elem bármelyike akárhányszor szerepelhet, akkor egy ilyen kiválasztást az n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációjának nevezzük. Az n elem összes k-ad osztályú ismétléses kombinációinak száma:

N elem, melyből n₁, n₂ … n_k egyforma van, lehetséges sorrendjeit az eleme ismétléses permutációjának hívjuk. Ezek száma:

A kedvező elemi események ami olyan elemi események amikor P(a) bekövetkezhet. P(a)= kedvező elemi esemény/ összes elemi esemény.

Két kör közös pontjainak koordinátáit meghatározhatjuk, ha a két kör egyenletéből alkotott kétismeretlenes két egyenletből álló egyenletrendszert megoldjuk. A közös pontok koordinátái az egyenletrendszert kielégítő valós számpárok.

Legyen megadva az A(x1; y1) és B(x2; y2). A rajtuk fekvő egyenesnek egy irányvektora az = b – a (x2 – x1; y2 –y1) vektor. Mivel ismerjük az egyenes egy pontját és egy irányvektorát, már fölírhatjuk az egyenes egyenletét.

Két vektor hajlásszöge az általuk bezárt szög nagysága.

cos(α)=(ab)/(|a|.|b|) összefüggéssel lehet kiszámolni.

Két vektor, akkor párhuzamos ha irány tangensük megegyezik.

Elemi események egy halmazát eseménynek nevezzük. A halmaz komplementere, , szintén egy halmaz, amely így esemény. Ezt az eseményt az A komplementer eseményének nevezzük, amely pontosan akkor következik be, ha A nem következik be. Példa: szabályos hatoldalú kocka feldobásakor a lehetséges eredmények hat elemi eseményt határoznak meg: 1, 2, 3, 4, 5 és 6. Legyen A az az esemény, hogy páros számot dobunk. Ez az 2, 4 és 6 elemi események halmaza. Az A komplementer eseménye így az 1, 3 és 5 elemi események halmaza, tehát az amikor a dobott szám páratlan lesz.

Euler vetette fel a problémát: lehet-e Königsberg (más néven Kalinyingrád) városán átfolyó Pregel folyó hídjain keresztül olyan sétát tenni, hogy ennek során minden hídon pontosan egyszer haladjunk át? A kérdésre a válasz nemleges. A königsbergi hidak problémája adta az első indítást a gráfelmélet felépítéséhez.

A gráfelméletben a kör élek olyan egymáshoz csatlakozó sorozata, amelyben az élek és pontok egynél többször nem szerepelhetnek, és a kiindulási pont megegyezik a végponttal.

Kör belső pontjaira igaz egyenlőtlenség: (x-u)²+(y-v)²=>r² ahol u abszcissza és v ordináta.

Az O (u; v) középpontú r sugarú kör egyenlete: . Speciálisan, ha a kör középpontja az origó, akkor az egyenlete: . Például Az O(3, -2) középpontú, 5 egység sugarú kör egyenlete: .

A kör tengelymetszetei azok a pontok ahol a kör metszi az x és y tengelyt. A kör egyenlete a következő (x-u)²(y-v)²=r² , ahol u és v változók a kör középpontjának az origóhoz viszonyított távolságát mutatják. A kör ott metszi az y tengelyt ahol az x értéke 0. A kör ott metszi az x tengelyt ahol y értéke 0

Körnek nevezzük a kezdőpontjába visszatérő utat, azaz minden olyan élsorozatot, amely kezdőpontjába tér vissza, és minden pont és minden él csak egyszer szerepelt. Ha egy gráfban nincs kör, akkor azt a gráfot körmentes gráfnak nevezzük. A maximális körmentes összefüggő gráf a fa, hiszen akármelyik két pontját kötnénk is össze, amely eddig nem volt összekötve, akkor a gráfban már lenne kör.

Kör belső pontjaira igaz egyenlőtlenség: (x-u)2+(y-v)2<=r2 ahol u abszcissza és v ordináta. A körön kívüli pontokra igaz a következő egyenlet: (x-u)2+(y-v)2>r2.

Egy kúpot egy síkkal metsszük. A kúp csúcsán át nem haladó síkot tekintve a következő három eset lehetséges: a sík és a kúptengely hajlásszöge a kúp félnyílásszögénél nagyobb, a sík minden alkotót metsz; a sík és a kúptengely hajlásszöge a kúp félnyílásszögénél kisebb, a sík két alkotóval párhuzamos; a sík és a kúptengely hajlásszöge a kúp félnyílásszögével egyenlő, a sík csak egy alkotóval párhuzamos. A metszetet első esetben ellipszis, a második esetben hiperbola, a harmadik esetben parabola.