Alapvető térgeometriai ismeretek

Egy egyenes és egy sík akkor merőleges egymásra, ha az egyenes merőleges a sík minden egyenesére.

A definíció azt kívánná, hogy egy e egyenes és egy S sík merőlegességének eldöntésekor az e egyenesnek az S sík valamennyi egyenesével alkotott hajlásszögét megvizsgáljuk. Ez lehetetlen. Bebizonyítható egy tétel, amely segítségével egy egyenesnek egy síkra való merőlegessége könnyen eldönthető.

Bizonyítás

A tétel bizonyításához tekintsük az S síkot és annak két, egymást metsző a és b egyenesét. Erre a két egyenesre merőleges az e egyenes: és
Az ábrán az e egyenes és az S sík M metszéspontján át a-val párhuzamosan meghúzzuk a p egyenest, b-vel párhuzamosan a q egyenest. Nyilvánvalóan és
Bebizonyítjuk, hogy az e egyenes merőleges az S síkon tetszőlegesen felvett c egyenesre is. (Ha az e egyenes merőleges a tetszőleges c egyenesre is, akkor merőleges az S sík bármely egyenesére is, azaz merőleges az S síkra is.) A c egyenes helyett felvesszük a vele párhuzamos és az M-re illeszkedő r egyenest. Azt bizonyítjuk, hogy .
Vegyük fel az e egyenesen, az S sík mindkét oldalán, az M ponttól egyenlő távolságra egy-egy pontot. Jelöljük ezeket E-vel, G-vel.(Természetes, hogy felezőpontja M).
Az S síkon vegyünk fel egy olyan v egyenest, amely (M-től különböző pontban) metszi a p, q, r egyeneseket. Velük alkotott metszéspontjaikat jelöljük rendre P-vel, Q-val, R-el.
Mivel és , ezért az háromszög egyenlő szárú: .
Hasonlóan, és miatt az háromszög egyenlő szárú: .
Ezekből következik, hogy hiszen oldalaik páronként egyenlő hosszúak.
Az egybevágóságból következik, hogy a két háromszögben a megfelelő szögek egyenlőek:

Két oldal egyenlő hosszúsága és a közbezárt szög egyenlősége miatt két újabb egybevágó háromszögünk van: Ebből viszont következik, hogy .
Az háromszög egyenlő szárú: és a harmadik oldal, az oldal felezőpontja M, ezért az szakasz merőleges az oldalra, azaz az r egyenes merőleges az e egyenesre.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy az e egyenes merőleges az S sík bármely egyenesére.

Síkra merőleges egyenes tétele

Tétel: Ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére, azaz merőleges a síkra.