Feladat: oszthatóság bizonyítása

Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív egész n szám esetén osztható 81-gyel!

Megoldás: oszthatóság bizonyítása

A bizonyítást teljes indukcióval végezzük.

1. Megnézzük, hogy n = 1-re igaz-e az állítás:

.

Az állítás n = 1-re igaz.

2. a) Feltesszük, hogy n-re igaz az állítás, azaz

.

Ezt indukciós feltevésnek szoktuk mondani.

b) Megvizsgáljuk, hogy n-ről (n + 1)-re öröklődik-e az állítás. A kifejezésbe (n + 1)-et helyettesítünk, és átalakításokat végzünk. Célunk az, hogy az indukciós feltevést felhasználhassuk.

n + 1 esetén:

.

A tagok között szerepel , amit kapcsolatba hozhatunk az indukciós feltevésben szereplő kifejezés 10-szeresével. Hogy az teljes egészében ott legyen, kell, hogy oda kerüljön is. Ezért a kifejezéshez hozzáadjuk a -t:

A kifejezés első tagja az indukciós feltevés szerint osztható 81-gyel és a második tag, 81n is osztható 81-gyel.

Ezzel bebizonyítottuk a feladat állítását.