Véletlen-mennyiségek értékkészlete

Bizonyos véletlen események kimenetelei véges számú, meghatározott értékkel jellemezhetők (kockadobás, adott időintervallumban hány hívás érkezik a központba), mások értékei pedig folyamatosan változhatnak (távolságmérés, mennyi idő múlva hibásodik meg egy alkatrész).
Azért hogy az ezekhez hasonló eseteket is tudjuk matematikai eszközökkel kezelni, megkülönböztetünk diszkrét és folytonos valószínűségi változókat.

Egyenletes eloszlású véletlen értékek előállítása

A legtöbb programozási nyelv általában biztosítja annak a lehetőségét, hogy a [0;1) intervallumba eső (többé-kevésbé) egyenletes eloszlású álvéletlenszámot generálhassunk programunk számára. Az a és b számok legyenek valós számok, valamint legyen a<b. Legyen r a [0;1) intervallum eleme, egy véletlenszám. Ekkor teljesül, hogy az r(b-a)+a eleme [a;b) szintén egyenletes eloszlású véletlen érték.

Az egyenletes eloszlás (lehet diszkrét vagy folytonos)

• Sűrűségfüggvénye azt fejezi ki, hogy a valószínűségi változó által felvehető értékek mindegyike azonos valószínűséggel fordulhat elő.
• Eloszlásfüggvénye megmutatja annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó (esemény kimenetele) egy adott x értéknél kisebb értéket milyen valószínűséggel vehet fel.

Diszkrét, egyenletes eloszlás

Folytonos, egyenletes eloszlás

Normális eloszlású véletlen értékek előállítása

A legtöbb programozási nyelv általában biztosítja annak a lehetőségét, hogy a [0;1) intervallumba eső (többé-kevésbé) egyenletes eloszlású ál-véletlenszámot generálhassunk programunk számára. Több ilyen véletlenszám fölhasználásával normális eloszlású véletlenszámokat állíthatunk elő:
<math display="block"><semantics><mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mn>12</mn></mrow><mi>n</mi></mfrac></mrow></msqrt><mrow><mo>(</mo><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover><mrow><mi>x</mi><mi>i</mi></mrow></mstyle><mo>−</mo><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="MathType-MTEF"></annotation></semantics></math>
<math display="block">
<semantics>
<mtable columnalign="left">
<mtr>
<mtd>
<mn>5</mn>
<mo>≤</mo>
<mi>n</mi>
<mo>≤</mo>
<mn>12</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
<mo>≤</mo>
<mi>x</mi>
<mi>i</mi>
<mo>≤</mo>
<mn>1</mn>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>e</mi>
<mi>g</mi>
<mi>y</mi>
<mi>e</mi>
<mi>n</mi>
<mi>l</mi>
<mi>e</mi>
<mi>t</mi>
<mi>e</mi>
<mi>s</mi>
<mi>
</mi>
<mi>e</mi>
<mi>l</mi>
<mi>o</mi>
<mi>s</mi>
<mi>z</mi>
<mi>l</mi>
<mi>á</mi>
<mi>s</mi>
<mi>ú</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<annotation encoding="MathType-MTEF">
</annotation>
</semantics>
</math>

A normális eloszlásnak a valószínűség-számításban központi szerepe van. A gyakorlatban előforduló adatsorok, ha mérési eredmények, akkor gyakran normális eloszlást követnek.
A standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének az x=0 helyen maximuma van és határértéke a ±¥-ben 0. Ez azt fejezi ki, hogy az ilyen eloszlású valószínűségi változó legvalószínűbb értéke 0, annak valószínűsége, hogy ettől egyre nagyobb mértékben eltérjen, egyre kisebb.

A normális eloszlás

Exponenciális eloszlású véletlen értékek előállítása

A legtöbb programozási nyelv általában biztosítja annak a lehetőségét, hogy a [0;1) intervallumba eső (többé-kevésbé) egyenletes eloszlású ál-véletlenszámot generálhassunk programunk számára. Az inverz-módszer segítségével, az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvényének felhasználásával exponenciális eloszlású véletlen értékeket állíthatunk elő:
<math display="block"><semantics><mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mi>λ</mi></mfrac></mrow><annotation encoding="MathType-MTEF"></annotation></semantics></math>
ahol yÎ[a;b) egyenletes eloszlású.

A radioaktív atom elbomlásáig eltelt idő exponenciális eloszlást követ.

• Sűrűségfüggvénye egy exponenciálisan csökkenő függvény, ami kifejezi, annak valószínűségét, hogy az esemény egyre később következik be, egyre kisebb.
• Eloszlásfüggvénye az y=1 egyeneshez tart.

Az exponenciális eloszlás

A Poisson-eloszlású véletlen értékek előállítása

A legtöbb programozási nyelv általában biztosítja annak a lehetőségét, hogy a [0;1) intervallumba eső (többé-kevésbé) egyenletes eloszlású ál-véletlenszámot generálhassunk programunk számára. Az alábbi program la paraméterű Poisson-eloszlású véletlen értékek előállítására alkalmas:
el:=exp(-la);
p:=1; c:=0; r:=0;
while p>=el do begin
p:=p*random;
r:=c;
c:=c+1;
end;
poisson:=r;

A Poisson-eloszlás a legfontosabb diszkrét eloszlás. A ritkán bekövetkező, azaz a kis valószínűségű események leírására alkalmas. Ezzel az eloszlással jellemezhetők például egy könyv oldalain előforduló sajtóhibák száma, vagy bizonyos idő alatt elbomlott radioaktív atomok száma.