A PROJEKTÍV GEOMETRIA

A geometria ezen ága a geometriai alakzatoknak olyan tulajdonságaival foglalkozik, amelyek centrális vetítéskor és egyenessel (síkkal) való metszéskor változatlanok maradnak. Amint Menelaosz tételének bizonyításánál láttuk, alapvetően ilyen tulajdonság az egyenesen levő pontnégyesek és a közös ponton átmenő sugárnégyesek kettősviszonya. Ezekhez az ókori fogalmakhoz és módszerekhez nyúlt vissza a nagy francia matematikus:

Gérard Desargues (1593-1662). Új nézeteket képviselt, amelyeket kortársai általában nem méltányoltak. Azzal, hogy az ókori geometria projektív elemeit életre keltette és kibővítette, megtalálta a geometriai kutatás egyik általános módszerét, megteremtve ezzel a szintetikus geometria projektív geometriának nevezett, sok ötletet kívánó, de éppen ezért igen érdekes ágát. Bevezette az egyenes végtelen távoli pontjának és a sík végtelen távoli egyenesének a fogalmát. Velük kapcsolatban - többek között - a következő megállapításokat tette: A párhuzamos egyenesek közös síkjuknak egyik végtelen távoli pontjában metszik egymást. Azonos aszimptotájú hiperbolák végtelen távoli pontjaikban érintkeznek. Beszélt a végtelen közeli pontokról is. A kör érintője például olyan szelő, amelynek a körrel való metszéspontjai összeesnek, és az érintő a saját érintőpontjának a polárisa. Azért, hogy a geometriába méretes vonatkozásokat is bevigyen, bevezette valamely egyenes pontpárjainak az involúcióját. A szó is tőle származik. Az egyenes AA', BB', CC' stb. pontjai az egyenes O kezdőpontjára nézve involúciós pontpárokat alkotnak, ha teljesül az

OA • OA'=OB• OB'=OC • OC'=…

szorzategyenlőség. Ennek a feltételnek 6 pontra vonatkozó, könnyebben kezelhető alakja az

AB • AB'A'B • A'B'=AC • AC'A'C • A'C'

amelyet a következő átalakításokkal kaphatunk meg: Az OA•OA' = OB•OB' definiáló egyenletből:

OAOB=OB'OA'

A párhuzamos szelők tételének és annak megfordítása alapján:

OAOA'=AB'A'B⋅OBOA'

Az alapösszefüggésből származó OA' : OB' = OB : OA aránypár átalakításával: (OA' - OB') : OB' = (OB - OA) : OA, azaz A'B' : OB' = AB : OA. Ebből OA : OB' = AB : A'B'. Mivel azonban OA : OB' = OB : OA', azért:

OBOA'=ABA'B'

Írjuk ezt be a fenti egyenlőségbe! Ekkor:

OAOA'=AB • AB'A'B • A'B'

Ha most az involúciót meghatározó egyenlőségsorozatból az OA•OA' = OC•OC' részt ragadjuk ki, akkor teljesen hasonló módon juthatunk ez az

OAOA'=AC • AC'A'C • A'C'

megállapításhoz. A két utóbbi egyenletet összehasonlítva, valóban:

AB • AB'A'B • A'B'=AC • AC'A'C • A'C'

Érdemes ezt az összefüggést átfogalmazni még az

ABBA':ACCA'=AC'C'A':AB'B'A'

alakba, mert ekkor felismerhetjük az (AA'BC)=(AA'C'B') kettősviszony-egyenlőséget. Ha tehát az AA', BB' és CC' pontpárok involúciót alkotnak, akkor az iménti kettősviszonyok egyenlők. Mivel pedig a következtetésnél alkalmazott műveletek egyértelműen megfordíthatók, azért a jelzett kettősviszonyok egyenlők. Mivel pedig a következtetésnél alkalmazott műveletek egyértelműen megfordíthatók, azért a jelzett kettősviszonyok egyenlőségéből a három pontpár involúciója is következik. Minthogy pedig a kettősviszony a centrális vetítésre és az egyenessel való metszésre nézve állandó, azért e műveletek az involúciót is változatlanul hagyják, vagyis az involúció projektív tulajdonság. Desargues tehát vigyázott arra, hogy az általa bevezetett involúció fogalma összhangban legyen az Eukleidész-nél szereplő kettősviszony fogalmával.